Hvordan finner du summen av den uendelige geometriske serien 10 (2/3) ^ n når n = 2?

Svar:

Svaret er heller ikke #40/9# eller #40/3# avhengig av hva som var ment med spørsmålet.

Forklaring:

Vel, hvis #n = 2 # da er det ikke sum, svaret er bare:

#10(2/3)^2 = 10(4/9) = 40/9#

Men kanskje var spørsmålet ment å be om at den uendelige summen skal tas fra og med # N = 2 # slik at ligningen er:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n #

I dette tilfellet ville vi beregne det ved først å merke seg at noen geometriske serier kan sees som værende av formen:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n #

I dette tilfellet har serien vår #a = 10 # og #r = 2/3 #.

Vi vil også merke seg at:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n = asum_ (n = 0) ^ infty r ^ n #

Så vi kan bare beregne summen av en geometrisk serie # (2/3) ^ n # og multipliser deretter summen av #10# for å komme til vårt resultat. Dette gjør tingene enklere.

Vi har også ligningen:

#sum_ (n = 0) ^ infty r ^ n = 1 / (1-r) #

Dette gjør at vi kan beregne summen av serien som starter fra # N = 0 #. Men vi vil beregne det fra # N = 2 #. For å gjøre dette, vil vi ganske enkelt trekke fra # N = 0 # og # N = 1 # vilkår fra hele summen. Skriver de første flere vilkårene for summen ut, vi kan se at det ser ut som:

#1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …#

Vi kan se det:

(n = 2) ^ infty (2/3) ^ n = 10sum_ (n = 2) ^ infty (2/3) ^ n = 10 sum_ (n = 0) ^ infty (2/3) ^ n - (1 + 2/3) #

#=101/(1-(2/3)) - (1 + 2/3)#

#= 103 - 5/3 = 109/3 - 5/3 = 40/3#