Dette er et trigonometrisk bevis på et generalisert tilfelle, spørsmålet er i detaljboksen?

Svar:

Bevis ved induksjon er under.

Forklaring:

La oss bevise denne identiteten ved induksjon.

A. For # N = 1 # vi må sjekke det

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Faktisk bruker du identitet #cos (2teta) = 2cos ^ 2 (theta) -1 #, vi ser det

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2cos ^ 2 (theta) -1) +1 = 4cos ^ 2 (theta) -1 = #

# = (2cos (theta) -1) * (2cos (theta) 1) #

hvorfra følger det

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Så for # N = 1 # vår identitet gjelder.

B. Anta at identiteten er sant for # N #

Så antar vi det

# (2cos (2 ^ ntheta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j i 0, n-1) 2cos (2jtheta) -1

(symbol # Pi # brukes til produkt)

C. Bruk antagelse B ovenfor, la oss bevise identiteten for # N + 1 #

Vi må bevise at fra forutsetning B følger

# (2cos (2 ^ (n + 1) theta) 1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j i 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1

(merk at den riktige grensen for en indeks for multiplikasjon er # N # nå).

BEVIS

Bruker en identitet #cos (2x) = 2cos ^ 2 (x) -1 # til # X = 2 ^ ntheta #, # 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 = 2cos (2 * (2 ^ n * theta)) + 1 = #

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 +1 = #

# = 4cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 #

Del begynnelses- og slutteksempler av # 2cos (theta) +1 #, får

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) 1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 / 2cos (theta) +1 #

Nå bruker vi antagning B å få

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) 1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * Pi _ (j i 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 = #

# = Pi _ (j i 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(Legg merke til at omfanget av en indeks nå er utvidet til # N #).

Den siste formelen er nøyaktig den samme for # N + 1 # som originalen er for # N #. Det fullfører beviset ved induksjon at vår formel er sant for noen # N #.

Svar:

Se beviset i forklaringseksjonen nedenfor.

Forklaring:

Dette tilsvarer å bevise at, # (2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) = (2cos2 ^ nx + 1)

# "The L.H.S." = {(2cosx + 1) (2cosx-1)} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1)

# = {4cos ^ 2x-1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4- ((1 + cos2x) / 2) -1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) …. (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos2x + 1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (4cos ^ 2 (2x) -1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos (2 * 2x) 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos4x + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos8x + 1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# Vdots #

# = {2cos (2 * 2 ^ (n-1) x) 1)} #

# = (2cos2 ^ nx + 1) #

# = "R.H.S." #

Nyt matematikk.!