Spørsmål # dbd28

Svar:

Definer avstanden mellom grafen og punktet som en funksjon og finn minimum.

Poenget er #(3.5,1.871)#

Forklaring:

For å vite hvor nær de er, må du vite avstanden. Den euklidiske avstanden er:

#sqrt (ax ^ 2 + Ay ^ 2) #

hvor Δx og Δy er forskjellene mellom de to punktene. For å være nærmeste punkt, må dette punktet ha minimumsavstanden. Derfor setter vi:

#f (x) = sqrt ((x-4) ^ 2 + (x ^ (1/2) -0) ^ 2) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + (x ^ (1/2)) ^ 2) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + x ^ (1/2 * 2)) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + x) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-7x + 16) #

Vi må nå finne minimum av denne funksjonen:

#f '(x) = 1 / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) * (x ^ 2-7x + 16)' #

#f '(x) = (2x-7) / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) #

Nevneren er alltid positiv som en kvadratrotsfunksjon. Telleren er positiv når:

# 2x-7> 0 #

#X> 7/2 #

#X> 3,5 #

Så funksjonen er positiv når #X> 3,5 #. På samme måte kan det påvises at det er negativt når #X <3,5 # Derfor fungerer det #f (x) # har et minimum på # X = 3,5 #, som betyr at avstanden er minst i # X = 3,5 # Y koordinaten til # Y = x ^ (1/2) # er:

# Y = 3,5 ^ (1/2) = sqrt (3,5) = 1,871 #

Endelig er punktet der minst avstand fra (4,0) observeres,:

#(3.5,1.871)#