Hva er extrema- og sadelpunktene for f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y?

Jeg fant ingen sadelpunkter, men det var et minimum:

#f (1/3, -2/3) = -1 / 3 #

For å finne ekstremt, ta det delvise derivatet med hensyn til # X # og # Y # for å se om begge partielle derivater samtidig kan tilsvare #0#.

# ((delf) / (delx)) _ y = 2x + y #

# ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 #

Hvis de samtidig må være lik #0#, de danner en system av ligninger:

# 2 (2x + y + 0 = 0) #

#x + 2y + 1 = 0 #

Dette lineær system av ligninger, når trukket fra for å avbryte # Y #, gir:

# 3x - 1 = 0 => farge (grønn) (x = 1/3) #

# => 2 (1/3) + y = 0 #

# => farge (grønn) (y = -2/3) #

Siden ligningene var lineære, var det bare ett kritisk punkt, og dermed bare en ekstrem. Det andre derivatet vil fortelle oss om det var maksimalt eller minimum.

# ((del ^ 2f) / (delx ^ 2)) y = ((del ^ 2f) / (dely ^ 2)) _ x = 2 #

Disse andre delene er enige, så grafen er konkav opp langs # X # og # Y # akser.

Verdien av #f (x, y) # på det kritiske punktet er (ved å plugge tilbake til den opprinnelige ligningen):

#color (grønn) (f (1/3, -2/3)) = (1/3) ^ 2 + (1/3) (-2/3) + (-2/3) ^ 2 + (- 2/3) #

# = 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 = farge (grønn) (- 1/3) #

Dermed har vi a minimum av #color (blå) (f (1/3, -2/3) = -1/3) #.

Nå, for kryss-derivater for å sjekke om noen sadelpunkter som kan være langs en diagonal retning:

# (del ^ 2f) / (delxdely)) _ (y, x) = ((del ^ 2f) / (delydelx)) _ (x, y) = 1 #

Siden disse begge er i avtale også, i stedet for å være motsatte tegn, er det ingen salespunkt.

Vi kan se hvordan denne grafen ser ut bare for å sjekke: