Hva er derivatet av f (x) = sec ^ -1 (x)?

# d / dx sec ^ -1x = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) #

Prosess:

Først vil vi gjøre likningen litt enklere å håndtere. Ta sekanten på begge sider:

#y = sec ^ -1 x #

#sec y = x #

Skriv om igjen i form av # cos #:

# 1 / cos y = x #

Og løse for # Y #:

# 1 = xcosy #

# 1 / x = koselig #

#y = arccos (1 / x) #

Nå ser det ut som det er mye enklere å skille mellom. Vi vet det

# d / dx arccos (alfa) = -1 / (sqrt (1-alfa ^ 2)) #

slik at vi kan bruke denne identiteten så vel som kjederegelen:

# dy / dx = -1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

Litt forenkling:

# dy / dx = -1 / sqrt (1 - 1 / x ^ 2) * (-1 / x ^ 2) #

Litt mer forenkling:

# dy / dx = 1 / (x ^ 2sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

For å gjøre ligningen litt finere, vil jeg flytte # X ^ 2 # inne i radikalen:

# dy / dx = 1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2)))

Noen siste reduksjon:

# dy / dx = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) #

Og det er vår derivat.

Når du skiller innvendige trig-funksjoner, får nøkkelen dem i et form som er lett å håndtere. Mer enn noe, de er en øvelse i din kunnskap om trig identiteter og algebraisk manipulasjon.