Vis at hvis p, q, r, s er ekte tall og pr = 2 (q + s) så har minst en av ligningene x ^ 2 + px + q = 0 og x ^ 2 + rx + s = 0 ekte røtter?

Svar:

Se nedenfor.

Diskriminanten av # X ^ 2 + px + q = 0 # er # Delta_1 = p ^ 2-4q #

og det av # X ^ 2 + rx + s = 0 # er # Delta_2 = r ^ 2-4s #

og # Delta_1 + Delta_2 = p ^ 2-4q + r ^ 2-4s #

= # P ^ 2 + r ^ 2-4 (q + s) #

= # (P + r) ^ 2-2pr-4 (q + s) #

= # (P + r) ^ 2-2 PR-2 (q + r) #

og hvis # Pr = 2 (q + s) #, vi har # Delta_1 + Delta_2 = (p + r) ^ 2 #

Som summen av de to diskriminanter er positiv, minst en av dem ville være positiv

og dermed minst en av ligningene # X ^ 2 + px + q = 0 # og # X ^ 2 + rx + s = 0 # har reelle røtter.