Anta at det er m Martians & n Earthlings på en fredskonferanse. For å sikre at martiansne blir fredelige på konferansen, må vi sørge for at ingen to martians sitter sammen, slik at mellom noen to martians er det minst en Earthling? (Se detalj)

Svar:

en) # (N! (N + 1)!) / ((N-m + 1)!) #

b) # (N! (N-1)!) / ((N-m)!) #

Forklaring:

I tillegg til noen ekstra resonnement vil vi bruke tre vanlige teknikker for telling.

Først vil vi gjøre bruk av det faktum at hvis det er # N # måter å gjøre en ting og # M # måter å gjøre en annen på, da antar oppgavene er uavhengige (hva du kan gjøre for en ikke stole på det du gjorde i den andre), det er # Nm # måter å gjøre begge deler på. For eksempel, hvis jeg har fem skjorter og tre par bukser, så er det #3*5=15# antrekk jeg kan lage.

For det andre vil vi bruke det antall måter å bestille på # K # objekter er #k! #. Dette er fordi det er # K # Måter å velge det første objektet, og deretter # K-1 # måter å velge den andre, og så videre og så videre. Dermed er totalt antall måter #k (k-1) (k-2) … (2) (1) k =! #

Til slutt vil vi bruke det antall måter å velge # K # objekter fra et sett av # N # objekter er # ((n), (k)) = (n!) / (k! (n-k)!) # (uttalt som n velg k). En oversikt over hvordan man kommer til denne formelen er gitt her.

a) Hvis vi ignorerer splittene i utgangspunktet, er det #m! # måter å bestille marianerne og #N! # måter å bestille earthlings på. Til slutt må vi se hvor Martians er plassert. Som hver martian må plasseres enten på en ende eller mellom to jordlinger, er det # N + 1 # steder som de kan sitte (en til venstre for hver Earthling, og så en til lengst til høyre). Som det er # M # Martians, det betyr at det er # ((n + 1), (m)) = ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) # mulige måter å plassere dem på. Dermed er det totale mulige sitteopphold

(n + 1)!) / ((n + 1-m)!) = (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!)

b) Dette problemet ligner på det ovennevnte. For å gjøre ting enklere, la oss velge en Earthling og ringe til presidenten. Fordi det ikke betyr noe om hvordan en sirkel blir rotert, i stedet for å henvise til sitteplasser ordninger basert på en absolutt bestilling, vil vi vurdere sitteordninger basert på deres forhold til presidenten.

Akkurat som ovenfor, hvis vi starter fra presidenten og fortsetter med klokken rundt sirkelen, kan vi telle antall måter å bestille de resterende deltakerne på. Som det er # M # Martians og # N-1 # gjenværende Earthlings, er det #m! # måter å bestille marianerne og # (N-1)! # måter å bestille de resterende jordmødrene på.

Deretter må vi igjen posisjonere marserne. Denne gangen har vi ikke en ekstra plass på slutten, så er det bare # N # steder de kan sitte på. Så er det # ((N), (m)) = (n!) / (M! (N-m)!) # måter å plassere dem på. Dermed er det totale mulige sitteopphold

# (N-1)! M! (N!) / (M! (N-m)!) = (N! (N-1)!) / ((N-m)!) #