Vi har f: {1,2,3} -> {1,2} og g: {1,2,3} -> {1,2,3,4}. Hvor mange injeksjonelle f og g funtions eksisterer?

Svar:

# F # kan ikke være injeksjonsmiddel.

# G # kan være injeksjon i #24# måter.

Forklaring:

En funksjon er injeksjon hvis ingen to innganger gir samme utgang. Med andre ord, noe som

#f (x) = f (y), quad x ne y #

kan ikke skje.

Dette betyr at i tilfelle av endelige domener og codomain, kan en funksjon være injeksjon hvis og dersom domenet er mindre enn codomainet (eller høyst likestilt) i form av kardinalitet.

Det er derfor # F # kan aldri være injeksjon. Faktisk kan du fikse #f (1) # som du liker. Si #f (1) = 1 #, for eksempel. Når du velger #f (2) #, vi kan ikke si det igjen #f (2) = 1 #, eller # F # ville ikke være injeksjon. Men når det gjelder #f (3) # Vi har ikke noe valg, hvis vi sier #f (3) = 1 # vi har #f (1) = f (3) #, og hvis vi sier #f (3) = 2 # vi har #f (2) = f (3) #.

Med andre ord må vi anrope en av to mulige ouputs til hver av de tre inngangene. Det skal være tydelig at inngangene ikke kan gi forskjellige utganger.

På den andre siden # G # kan være injeksjon, siden det er "nok plass": hver av de tre inngangene kan velge en av de fire utgangene på en slik måte at ingen forskjellige innganger gir samme utgang.

Men på hvor mange måter? Vel, antar vi begynner igjen med #f (1) #. Vi kan velge noen av de fire ouputene for denne inngangen, så vi kan velge #f (1) # på fire måter.

Når det gjelder #f (2) #, vi mister litt frihet: vi kan tildele noen verdi til #f (2) #, bortsett fra den vi tilordnet #f (1) #, så vi er igjen med to valg. For eksempel, hvis vi fikset #f (1) = 2 #, deretter #f (2) # kan enten være #1#, #3# eller #4#.

Av samme logikk har vi to valg for #f (3) #: Fra de fire mulige valgene, utelukker vi de som allerede er tildelt #f (1) # og #f (3) #.

Så, vi kan definere # G # i #4*3*2 = 24# måter slik at # G # er injeksjonsmiddel.