To tall har en forskjell på 20. Hvordan finner du tallene hvis summen av deres firkanter er minst?

Svar:

#-10,10#

Forklaring:

To tall # N, m # slik at # N-m = 20 #

Summen av torgene er gitt av

# S = N ^ 2 + m ^ 2 # men #m = n-20 # så

# S = N ^ 2 + (n-20) ^ 2 = 2n ^ 2-40n + 400 #

Som vi kan se, #S (n) # er en parabol med et minimum på

# d / (dn) S (n_0) = 4n_0-40 = 0 # eller på # n_0 = 10 #

Tallene er

# n = 10, m = n-20 = -10 #

Svar:

10 og -10

Løst uten beregning.

Forklaring:

I Cesareos svar # D / (dn) S (n_0) # er calculus. La oss se om vi kan løse dette uten kalkulator.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

#color (magenta) ("La det første tallet være" x) #

La det andre nummeret være # x + 20 #

Sett # "" y = x ^ 2 + (x + 20) ^ 2 #

# Y = x ^ 2 + x ^ 2 + 40x + 400 #

# y = 2x ^ 2 + 40x + 400 larr "" y "er summen av deres firkanter" # #

#color (rød) ("Så vi må finne verdien av x som gir minimumsverdien") # #color (rød) ("av" y) #

Denne ligningen er en kvadratisk og som # X ^ 2 # Termen er positiv da den er generell form er av form # Uu #. Dermed er toppunktet minimumsverdien for # Y #

Skriv som # Y = 2 (x ^ 2 + 20x) + 400 #

Det som følger er en del av prosessen for å fullføre torget.

Vurder 20 fra # 20x #

#color (magenta) ("Da er det første nummeret:" x _ ("vertex") = (- 1/2) xx20 = -10) #

Dermed er det første nummeret # x = -10 #

Det andre nummeret er # "" x + 20 = -10 + 20 = 10 #

# "" farge (grønn) (bar (ul (| farge (hvit) (2/2) "De to tallene er: -10 og 10" |))) #