Hva er parabolas likning med fokus på (-15, -19) og en regi av y = -8?

Svar:

#y = -1/22 (x + 15) ^ 2- 27/2 #

Forklaring:

Fordi direktoren er en horisontal linje, vet vi at parabolen er vertikalt orientert (åpner enten opp eller ned). Fordi y-koordinaten av fokuset (-19) under directrixen (-8), vet vi at parabolen åpner seg. Vertexformen til ligningen for denne typen parabol er:

#y = 1 / (4f) (x - h) ^ 2 + k "1" #

Hvor h er x-koordinatet til toppunktet, k det y koordinert av toppunktet, og brennvidden f, er halvparten av den signerte avstanden fra directrix til fokuset:

#f = (y _ ("fokus") - y _ ("directrix")) / 2 #

#f = (-19 - -8) / 2 #

#f = -11 / 2 #

Y-koordinaten til toppunktet, k, er f pluss y-koordinatet til direktoren:

# k = f + y _ ("directrix") #

# k = -11 / 2 + -8 #

# k = (-27) / 2 #

X-koordinatet til toppunktet, h, er det samme som fokusets x-koordinat:

#h = -15 #

Ved å erstatte disse verdiene til ligning 1:

#y = 1 / (4 (-11/2)) (x -15) ^ 2 (-27) / 2 #

Forenkler litt:

#y = -1/22 (x + 15) ^ 2- 27/2 #

Svar:

# X ^ 2 + 30x 22y + + 522 = 0 #

Forklaring:

Parabola er posisjonen til et punkt som beveger seg slik at avstanden fra en linje, kalt directix, og et punkt, kalt fokus, er like.

Vi vet at avstanden mellom to punkter # (X_1, y_1) # og # X_2, y_2) # er gitt av #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # og

Avstanden mellom punkt # (X_1, y_1) # og linje # Ax + by + c = 0 # er # | Ax_1 + by_1 + c | / (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Nå avstand fra et punkt # (X, y) # på parabol fra fokus på #(-15,-19)# er #sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) #

og dens avstand fra directrix # Y = -8 # eller # Y + 8 = 0 # er # | Y + 8 | / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) = | y + 8 | #

Derfor ville ligning av parabola være

#sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) = | y + 8 | # eller

# (X + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2 = (y + 8) ^ 2 # eller

# X ^ 2 + 30x + 225 + y ^ 2 + 38y + 361 = y ^ 2 + 16y + 64 # eller

# X ^ 2 + 30x 22y + + 522 = 0 #

graf {x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 -56,5, 23,5, -35,28, 4,72}