Hva er gjennomsnittsverdien av funksjonen f (x) = cos (x / 2) på intervallet [-4,0]?

Svar:

# 1 / 2sin (2) #, omtrent #0.4546487#

Forklaring:

Gjennomsnittlig verdi # C # av en funksjon # F # på intervallet # A, b # er gitt av:

# C = 1 / (b-a) int_a ^ bf (x) dx #

Her oversettes dette til gjennomsnittsverdien av:

# C = 1 / (0 - (- 4)) int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx #

La oss bruke substitusjonen # U = x / 2 #. Dette innebærer at # Du = 1 / 2DX #. Vi kan deretter omskrive integralet som sådan:

# C = 1 / 4int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx #

# C = 1 / 2int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) (1 / 2DX) #

Dele opp #1/4# inn i #1/2*1/2# tillater # 1 / 2DX # å være til stede i integralet slik at vi enkelt kan gjøre substitusjonen # 1 / 2DX = du #. Vi må også endre grensene i grensene til # U #, ikke # X #. For å gjøre dette, ta gjeldende # X # grenser og plugger dem inn i # U = x / 2 #.

# C = 1 / 2int _ (- 2) ^ 0cos (u) Du Nr

Dette er en felles integral (merk at # D / dxsin (x) = cos (x) #):

# C = halvdel sin (u) _ (- 2) ^ 0 #

evaluering:

# C = 1/2 (sin (0) -sin (-2)) #

# C = -1 / 2sin (-2) #

Noter det #sin (-x) = - sin (x) #:

# C = 1 / 2sin (2) #

#c ca0.4546487 #

Hva er gjennomsnittsverdien av funksjonen f (x) = (x-1) ^ 2 på intervallet [1,5]?

16/3 f (x) = (x-1) ^ 2 = x ^ 2-2x + 1 "Gjennomsnittlig av alle punkter av" f (x) i [a, b] = (int_a ^ bf (x) dx) / (ba) int_1 ^ 5 (x ^ 2-2x + 1) dx = [x ^ 3/3-x ^ 2 + x] _1 ^ 5 = [5 ^ 3 / 3-5 ^ 2 + 5] - [ 1 / 3-1 + 1] = 65 / 3-1 / 3 = 64/3 (64/3) / 4 = 16/3

Hva er gjennomsnittsverdien av funksjonen f (t) = te ^ (- t ^ 2) på intervallet [0,5]?

Det er 1/10 (1-e ^ -25) 1 / (5-0) int_0 ^ 5 te ^ (- t ^ 2) dt = -1/10 int_0 ^ 5 ^ ^ - 2t) dt = -1/10 [e ^ (- t ^ 2)] 0 ^ 5 = -1/10 (e ^ -25 - e ^ 0) = 1/10 (1-e ^ -25)

Hva er gjennomsnittsverdien av funksjonen f (x) = 18x + 8 på intervallet [0,10]?

98 Gjennomsnittlig verdi av f på [a, b] er 1 / (b-a) int_a ^ bf (x) dx. For dette problemet er det 1 / (10-0) int_0 ^ 10 (18x + 8) dx = 1/10 [9x ^ 2 + 8x] _0 ^ 10 = 1/10 [980] = 98.