Anta at S1 og S2 er ikke-null-underrom, med S1 inne i S2, og antar at dim (S2) = 3?

Anta at S1 og S2 er ikke-null-underrom, med S1 inne i S2, og antar at dim (S2) = 3?
Anonim

Svar:

#1. {1, 2}#

#2. {1, 2, 3}#

Forklaring:

Trikset her er å merke seg at gitt et underrom # U # av et vektorrom # V #, vi har #dim (U) <= dim (V) #. En enkel måte å se dette på er å merke seg at noe grunnlag for # U # vil fortsatt være lineært uavhengig i # V #, og må derfor enten være grunnlag for # V # (hvis # U = V #) eller har færre elementer enn et grunnlag for # V #.

For begge deler av problemet har vi # S_1subeS_2 #, som med det ovenfor nevnte betyr det #dim (S_1) <= dim (S_2) = 3 #. I tillegg vet vi det # S_1 # er ikke-null, noe som betyr #dim (S_1)> 0 #.

#1.# Som # S_1! = S_2 #, vi vet at ulikheten #dim (S_1) <dim (S_2) # er streng. Og dermed # 0 <dim (S_1) <3 #, betyr #dim (S_1) i {1,2} #.

#2.# Det eneste som endret seg for denne delen er at vi nå har muligheten til # S_1 = s_2 #. Dette endrer ulikheten til # 0 <dim (S_1) <= 3 #, betyr # S_1in {1,2,3} #