En kropp ble funnet kl 10.00 i et lager hvor temperaturen var 40 ° F. Den medisinske undersøkeren fant temperaturen på kroppen til å være 80 ° F. Hva var omtrentlig dødstid?

Svar:

Omtrentlig dødstid er #8:02:24# er.

Viktig å merke seg at dette er hudens temperatur i kroppen. Den medisinske undersøkeren vil måle innvendig temperatur som vil redusere mye langsommere.

Forklaring:

Newtons køleloven sier at temperaturendringen er proporsjonal med forskjellen i omgivelsestemperaturen. Dvs

# (dT) / (dt) prop T - T_0 #

Hvis #T> T_0 # så kroppen skal avkjøle slik at derivatet skal være negativt, derfor setter vi inn proportionalitetskonstanten og ankommer

# (dT) / (dt) = -k (T - T_0) #

Multiplikere ut braketten og skifte ting om får oss:

# (dT) / (dt) + kT = kT_0 #

Kan nå bruke integratorfaktormetoden for å løse ODEs.

#I (x) = e ^ (intkdt) = e ^ (kt) #

Multipliser begge sider av #I (x) # å få

# e ^ (kt) (dT) / (dt) + e ^ (kt) kT = e ^ (kt) kT_0 #

Legg merke til at ved å bruke produktregelen kan vi omskrive LHS og forlate:

# d / (dt) Te ^ (kt) = e ^ (kt) kT_0 #

Integrer begge sider til # T #.

# Te ^ (kt) = kT_0 int e ^ (kt) dt #

# Te ^ (kt) = T_0e ^ (kt) + C #

Delt på # E ^ (kt) #

#T (t) = T_0 + Ce ^ (- kt) #

Gjennomsnittlig menneskelig kroppstemperatur er # 98,6 ° "F" #.

#implies T (0) = 98.6 #

# 98.6 = 40 + Ce ^ 0 #

#implies C = 58.6 #

La # T_f # Vær den tiden da kroppen er funnet.

#T (t_f) = 80 #

# 80 = 40 + 58,6e ^ (- kt_f) #

# 40 / (58,6) = e ^ (- kt_f) #

#ln (40 / (58,6)) = -kt_f #

#t_f = - ln (40 / (58,6)) / k #

#t_f = - ln (40 / (58,6)) / (0,1947) #

#t_f = 1,96 timer #

Så fra tidspunktet for døden antok kroppen umiddelbart å avkjøle, det tok 1,96 timer å nå 80 ° F, på hvilket tidspunkt det ble funnet.

# 1.96hr = 117.6min #

Omtrentlig dødstid er #8:02:24# er