Hvordan bruker du mellomverdieretningen til å verifisere at det er null i intervallet [0,1] for f (x) = x ^ 3 + x-1?

Svar:

Det er nøyaktig 1 null i dette intervallet.

Forklaring:

Mellomverdieretningen angir at for en kontinuerlig funksjon definert på intervall # A, b # vi kan la # C # være et nummer med

#f (a) <c <f (b) # og det #EE x i a, b # slik at #f (x) = c #.

En følge av dette er at hvis tegnet av #f (a)! = # tegn på #f (b) # Dette betyr at det må være noen #x i a, b # slik at #f (x) = 0 # fordi #0# er åpenbart mellom negative og positive.

Så, la oss sub i endepunktene:

#f (0) = 0 ^ 3 + 0 -1 = -1 #

#f (1) = 1 ^ 3 + 1 - 1 = 1 #

#derfor# det er minst ett null i dette intervallet. For å sjekke om det bare er én rot, ser vi på derivatet som gir skråningen.

#f '(x) = 3x ^ 2 + 1 #

Vi kan se det #AA x i a, b, f '(x)> 0 # så funksjonen øker alltid i dette intervallet - dette betyr at det bare er én rot i dette intervallet.