Kraften som påføres mot et objekt som beveger seg horisontalt på en lineær bane, er beskrevet av F (x) = x ^ 2-3x + 3. Ved hvor mye endrer objektets kinetiske energi når objektet beveger seg fra x i [0, 1]?

Svar:

Newtons andre lov om bevegelse:

# F = m * a #

Definisjoner av akselerasjon og hastighet:

# A = (du) / dt #

# U = (dx) / dt #

Kinetisk energi:

# K = m * u ^ 2/2 #

Svaret er:

# Ak = 11/6 # # Kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Newtons andre lov om bevegelse:

# F = m * a #

# X ^ 2-3 x + 3 = m * a #

erstatte # A = (du) / dt # Hjelper ikke med ligningen siden # F # er ikke gitt som en funksjon av # T # men som en funksjon av # X # Derimot:

# A = (du) / dt = (du) / dt * (dx) / dx = (dx) / dt * (du) / dx #

Men # (Dx) / dt = u # så:

# A = (dx) / dt * (du) / dx = u * (du) / dx #

Ved å sette inn i ligningen vi har, har vi en differensialligning:

# x ^ 2-3x + 3 = m * u (du) / dx #

# (X ^ 2-3 x + 3) dx = m * # Udu

#int_ (x_1) ^ (x_2) (x ^ 2-3 x + 3) dx = int_ (u_1) ^ (u_2) m * # Udu

De to hastighetene er ukjente, men stillingene # X # er kjent. Massen er også konstant:

#int_ (0) ^ (1) (x ^ 2-3 x + 3) dx = m * int_ (u_1) ^ (u_2) Udu #

# X ^ 3 / 3-3x ^ 2/2 + 3x _0 ^ 1 = m * u ^ 2/2 _ (u_1) ^ (u_2) #

# (1 ^ 3 / 3-3 * 1 ^ 2/2 + 3 * 1) - (0 ^ 3 / 3-3 * 0 ^ 2/2 + 3 * 0) = m * (u_2 ^ 2/2- u_1 ^ 2/2) #

# 11/6 = Ingen m * u_2 ^ 2/2-m * u_2 ^ 2/2 #

Men # K = m * u ^ 2/2 #

# 11/6 = Ingen K_2-K_1 #

# Ak = 11/6 # # Kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Merk: enhetene er # Kg * m ^ 2 / s ^ 2 # bare hvis avstandene oppgitt # (x i 0,1) # er i meter.