Når du gjør langrage multiplikatorer for kalkulator 3 ... kan du si at jeg allerede har funnet mine kritiske punkter og jeg har en verdi fra det. hvordan vet jeg om det er min eller max verdi?

Svar:

En mulig måte er Hessian (2. Derivative Test)

Forklaring:

Typisk for å sjekke om de kritiske punktene er min eller max, vil du ofte bruke Second Derivative Test, som krever at du finner 4 partielle derivater, forutsatt at #f (x, y) #:

#f _ { "xx"} (x, y) #, #f _ { "xy"} (x, y) #, #f _ { "yx"} (x, y) #, og #f _ { "yy"} (x, y) #

Merk at hvis begge deler #f _ { "xy"} # og #f _ { "yx"} # er kontinuerlige i en region av interesse, vil de være like.

Når du har definert disse 4, kan du da bruke en spesiell matrise referert til som Hessian for å finne determinanten av den matrisen (som forvirrende nok ofte blir referert til som den hessiske), som vil gi deg litt informasjon om arten av punktet. Definer derfor Hessian Matrix som:

#H = | (f_ {"xx"} farge (hvit) (, aa) f_ {xy}), (f_ {yx} farge (hvit) (, aa) f_ {yy}) | #

Når du har opprettet denne matrisen (og det vil være en "funksjon" -matrise, siden innholdet vil være funksjoner av x og y), kan du da ta et av dine kritiske punkter og evaluere hele matrisens determinant. nemlig:

(x_0, y_0)) - (f_ {"xy"} (x_0, y_0)) ^ 2 #

Avhengig av resultatene av denne beregningen kan du lære karakteren av det kritiske punktet:

Hvis #H> 0 #, det er en min / max på det tidspunktet. Sjekk tegn på #f _ { "xx"} #. Hvis det er positivt, er punktet en min. Hvis det er negativt, er punktet en maks. (Dette er analogt med den "tradisjonelle" 2. derivat testen for enkeltvariable funksjoner av x.)

Hvis #H <0 #, det er et sadelpunkt på det punktet.

Hvis #H = 0 #, testen er ufullstendig og du må stole på andre måter, for eksempel en graf av funksjonen for å visuelt bestemme.