Hvordan finner du volumet av regionen som er omgitt av kurvene y = x ^ 2 - 1 og y = 0 rotert rundt linjen x = 5?

Svar:

# V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2DY = pi (85 + 1/3) #

Forklaring:

For å kunne beregne dette volumet vil vi på en eller annen måte skære den inn i (uendelig slanke) skiver.

Vi forestiller regionen, for å hjelpe oss med dette, har jeg vedlagt grafen der regionen er delen under kurven. Vi merker det # Y = x ^ 2-1 # krysser linjen # X = 5 # hvor # Y = 24 # og at den krysser linjen # Y = 0 # hvor # X = 1 # graf {x ^ 2-1 1, 5, -1, 24}

Når du skjærer denne regionen i horisontale skiver med høyde # Dy # (en veldig liten høyde). Lengden på disse skivene avhenger veldig mye av y-koordinaten. For å beregne denne lengden må vi vite avstanden fra et punkt # (Y, x) # på spill # Y = x ^ 2-1 # til punktet (5, y). Selvfølgelig er dette # 5-x #, men vi vil vite hvordan det kommer an på # Y #. Siden # Y = x ^ 2-1 #, vi vet # X ^ 2 = y + 1 #, siden vi har #X> 0 # for regionen er vi interessert i, # X = sqrt (y + 1) #, derfor er avstanden avhengig av # Y #, som vi skal betegne som #R (y) # er gitt av #R (y) = 5-sqrt (y + 1) #.

Nå roterer vi denne regionen rundt # X = 5 #, betyr dette at hver skive blir en sylinder med høyde # Dy # og radius #R (y) #, derfor et volum #pir (y) ^ 2DY #. Alt vi trenger å gjøre nå, er å legge opp disse uendelig små volumene ved hjelp av integrasjon. Vi merker det # Y # går fra #0# til #24#.

# V = int_0 ^ 24pir (y) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (25-10sqrt (y-1) + y + 1) dy = piint_0 ^ 24 (26-10sqrt (y + 1) + y) dy = pi 26y-20/3 (y + 1) ^ (3/2) + y ^ 2/2 _0 ^ 24 = pi (26 * 24-20 / 3 (25) ^ (3/2) + 20/3 + 24 ^ 2/2) = pi (85 + 1/3) #.