Hvordan finner du volumet av det faste stoffet som genereres ved å rotere regionen begrenset av kurvene y = x ^ (2) -x, y = 3-x ^ (2) roteres om y = 4?

Svar:

# V = 685 / 32pi # kubiske enheter

Forklaring:

Først skisse grafene.

# Y_1 = x ^ 2-x #

# Y_2 = 3-x ^ 2 #

# X #-avskjære

# y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 # Og vi har det # {(X = 0), (x = 1):} #

Så avskjærer er #(0,0)# og #(1,0)#

Få toppunktet:

# Y_1 = x ^ 2-x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 #

Så toppunktet er på #(1/2,-1/4)#

Gjenta forrige:

# y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 # Og vi har det # {(X = sqrt (3)), (x = -sqrt (3)):} #

Så avskjærer er # (Sqrt (3), 0) # og # (- sqrt (3), 0) #

# Y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 #

Så toppunktet er på #(0,3)#

Resultat:

Hvordan får du volumet? Vi skal bruke disk metode!

Denne metoden er ganske enkelt at: # "Volume" = piint_a ^ av ^ 2DX #

Ideen er enkel, men du må bruke den smart.

Og det er det vi skal gjøre.

Lar vi ringe volumet vårt # V #

# => V = V_1-V_2 #

# V_1 = piint_a ^ b (4-y_1) ^ 2DX #

# V_2 = piint_a ^ b (4-y_2) ^ 2DX #

NB: jeg tar # (4-y) # fordi # Y # er bare avstanden fra # X #-aks til kurven, mens vi vil ha avstanden fra linjen # Y = 4 # til kurven!

Nå for å finne #en# og # B #, vi likestiller # Y_1 # og # Y_2 # og deretter løse for # X #

# y_1 = y_2 => 2x ^ 2-x + 3 = 0 #

# => 2x ^ 2 + 2x-3x + 3 = 0 #

# => (2x-3) (x + 1) = 0 => {(x = 3/2 = 1,5), (x = 1):} #

Siden #en# kommer før # B #, # => A = -1 # og # B = 1,5 #

# => V_1 = piint _ (- 1) ^ (1,5) (4-y_1) ^ 2dx = pi int_-1 ^ 1,5 (4-x ^ 2-x) ^ 2x = piint _ (- 1) ^ x ^ 2 + x-4) ^ 2DX #

# => Piint (-1) ^ (1,5) (x ^ 4 + 3x ^ 3-7x ^ 2-8x + 16) dx = pi x ^ 5/5 + x ^ 4 / 2- (7x ^ 3) /3-4x^2+16x_-1^1.5#

# V_1 = (685pi) / 24 #

Gjør det samme for # V_2 #:

# V_2 = piint_-1 ^ 1,5 (4-y_2) ^ 2dx = piint_-1 ^ 1,5 (4-3 + x ^ 2) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1,5) (1 + x-4) ^ 2DX #

# => Piint (-1) ^ (1,5) (1 + 2 x ^ 2 + x ^ 4) dx = pi x + (2x ^ 3) / 3 + x ^ 5/5 _- 1 ^ 1,5 #

# V_1 = (685pi) / 96 #

# V = V_1-V_2 = 685 / 24-685 / 96 = farge (blå) ((685pi) / 32) #

Hvordan bruker du metoden til sylindriske skall til å finne volumet av det faste stoffet som oppnås ved å rotere området begrenset av y = x ^ 6 og y = sin ((pix) / 2) roteres om linjen x = -4?

Se svaret nedenfor:

Hvordan finner du volumet av det faste stoffet som genereres ved å rotere regionen begrenset av grafene til ligningene y = sqrtx, y = 0 og x = 4 om y-aksen?

V = 8pi volum enheter Vesentlig er problemet du har: V = piint_0 ^ 4 ((sqrtx)) ^ 2 dx Husk at volumet av et fast stoff er gitt ved: V = piint (f (x)) ^ 2 dx Således Vår opprinnelige intergral tilsvarer: V = piint_0 ^ 4 (x) dx Hvilket er igjen tilsvarer: V = pi [x ^ 2 / (2)] mellom x = 0 som vår nedre grense og x = 4 som vår øvre grense. Ved å bruke grunnleggende teoremet i beregningen erstatter vi våre grenser inn i vårt integrerte uttrykk som trekker ned grensen fra øvre grense. V = pi [16 / 2-0] V = 8pi volumsenheter

Hvordan finner du volumet av det faste stoffet som dannes ved å rotere regionen begrenset av grafene til ligningene y = 2x, y = 4, x = 0 ved hjelp av skallmetoden?

Se svaret nedenfor: