Hva er området for det største rektangel som kan skrives inn i ellipsen: 9 (x ^ 2) + 4 (y ^ 2) = 36?

Svar:

#A = 12 #

# 9 (x ^ 2) + 4 (y ^ 2) = 36 ekv x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Problemet kan oppstå som:

Finn maks # Xy # eller ekvivalent maks # X ^ 2y ^ 2 # slik at

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Gjør nå # X = x ^ 2, Y = y ^ 2 # problemet svarer til

Finne xmaks (X * Y) # underlagt # X / 4 + Y / 9 = 1 #

Den lagrangiske for bestemmelse av stasjonære punkter er

#L (X, Y, lambda) = X * Y + lambda (X / 4 + Y / 9-1) #

Stasjonarforholdene er

#grad L (X, Y, lambda) = vec 0 #

eller

# {(lambda / 2 + Y = 0), (lambda / 9 + X = 0), (X / 2 + Y / 9 - 1 = 0):}

Løsning for # X, Y, lambda # gir

# {X_0 = 2, Y_0 = 9/2, lambda_0 = -18} #

så # {x_0 = sqrt (2), y_0 = 3 / sqrt (2)} #

#A = 4 x_0 y_0 = 4 xx3 = 12 #