To satellitter P_ "1" og P_ "2" dreier seg i bane av radius R og 4R. Forholdet mellom maksimale og minimale vinkelhastigheter for linjeskiftet P_ "1" og P_ "2" er ??

Svar:

#-9/5#

Forklaring:

Ifølge Keplers tredje lov, # T ^ 2 propto R ^ 3 innebærer omega propto R ^ {- 3/2} #, hvis vinkelhastigheten til den ytre satellitten er # Omega #, den indre er det #omega ganger (1/4) ^ {- 3/2} = 8 omega #.

La oss vurdere # T = 0 # å være et øyeblikk når de to satellittene er collinear med moderplaneten, og la oss ta denne felleslinjen som # X # akser. Deretter koordinatene til de to planetene på tid # T # er # (R cos (8omega t), R sin (8omega t)) # og # (4R cos (omega t), 4R sin (omega t)) #, henholdsvis.

La # Theta # vær vinkelen linjen som knytter seg til de to satellittene, gjør med # X # akser. Det er lett å se det

#theTeta = (4R sin (omega t) -Rsin (8 omega t)) / (4R cos (omega t) -Rcos (8 omega t)) = (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -koser (8 omega t)) #

Differensiering utbytter

# sek ^ 2 theta (d theta) / dt = d / dt (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -koser (8 omega t)) #

# = (4 cos (omega t) -koser (8 omega t)) ^ - 2 ganger #

#qquad 4 cos (omega t) -koser (8 omega t)) (4 omega cos (omega t) -8omega cos (8 omega t)) - #

#qquad (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) (- 4omega sin (omega t) +8 omega sin (8 omega t)) # #

Og dermed

# (4 cos (omega t) -koser (8 omega t)) ^ 2 1 + ((4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -koser t))) ^ 2 (d theta) / dt #

# = 4 omega (4 cos ^ 2 (omega t) -9 cos (omega t) cos (8 omega t) + 2 cos ^ 2 (omega t)) #

#qquad qquad + (4 sin ^ 2 (omega t) -9 sin (omega t) cos (8 omega t) + 2sin ^ 2 (omega t))

# = 4 omega 6-9cos (7 omega t) innebærer #

# (17-8 cos (7 omega t)) (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) innebærer #

# (d theta) / dt = 12 omega (2-3 cos (7 omega t)) / (17-8 cos (7 omega t)) ekvivalent 12 omega f (cos (7 omega t)) #

Hvor funksjonen

#f (x) = (2-3x) / (17-8x) = 3/8 - 35/8 1 / (17-8x) #

har derivatet

# f ^ '(x) = -35 / (17-8x) ^ 2 <0 #

og er dermed monotont redusert i intervallet #-1,1#.

Dermed er vinkelhastigheten # (d theta) / dt # er maksimum når #cos (7 omega t) # er minimum og omvendt.

Så, # ((d theta) / dt) _ "max" = 12 omega (2 - 3 ganger (-1)) / (17-8 ganger (-1)) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 omega ganger 5/25 = 12/5 omega #

# ((d theta) / dt) _ "min" = 12 omega (2 - 3 ganger 1) / (17-8 ganger 1) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 omega ganger (-1) / 9 = -4/3 omega #

og så forholdet mellom de to er:

# 12/5 omega: -4/3 omega = -9: 5 #

Merk Det faktum at # (d theta) / dt # Endringsskilt er årsaken til såkalt tilsynelatende retrograd bevegelse