Hvordan kan jeg bevise dette? Ville dette bruke en teori fra ekte analyse?

# "Bruk definisjonen av derivat:" #

#f '(x) = lim_ {h-> 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# "Her har vi" #

#f '(x_0) = lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - f (x_0)) / h #

# g '(x_0) = lim_ {h-> 0} (g (x_0 + h) - g (x_0)) / h #

# "Vi må bevise det" #

#f '(x_0) = g' (x_0) #

#"eller"#

#f '(x_0) - g' (x_0) = 0 #

#"eller"#

#h '(x_0) = 0 #

# "med" h (x) = f (x) - g (x) #

#"eller"#

# x_0 + h) - f (x_0) + g (x_0)) / h = 0 #

#"eller"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h)) / h = 0 #

# "(på grunn av" f (x_0) = g (x_0) ")" #

#"Nå"#

#f (x_0 + h) <= g (x_0 + h) #

# => lim <= 0 "hvis" h> 0 "og" lim> = 0 "hvis" h <0 #

# "Vi antok at f og g er differensierbare" #

# "så" h (x) = f (x) - g (x) "er også differensierbar," #

# "så venstre grense må være lik den rette grensen, så" #

# => lim = 0 #

# => h '(x_0) = 0 #

# => f '(x_0) = g' (x_0) #

Svar:

Jeg vil gi en raskere løsning enn den i http://socratic.org/s/aQZyW77G. For dette må vi stole på noen kjente resultater fra kalkulatoren.

Forklaring:

Definere #h (x) = f (x) -g (x) #

Siden #f (x) le g (x) #, vi har #h (x) le 0 #

På # X = x_0 #, vi har #f (x_0) = g (x_0) #, så det #h (x_0) = 0 #

Og dermed # X = x_0 # er maksimal differensierbar funksjon #h (x) # innsiden det åpne intervallet # (A, b) #. Og dermed

#h ^ '(x_0) = 0 innebærer #

#f ^ '(x_0) -g ^' (x_0) innebærer #

#f ^ '(x_0) = g ^' (x_0) #