Hva er testene om delbarhet av ulike tall?

Det er mange delingsprøver. Her er noen, sammen med hvordan de kan utledes.

• Et heltall er delbart av #2# hvis det endelige sifferet er jevnt.

• Et heltall er delbart av #3# hvis summen av tallene er delt med 3.

• Et heltall er delbart av #4# hvis heltallet dannet av de to siste sifrene er delt med 4.

• Et heltall er delbart av #5# hvis det endelige tallet er 5 eller 0.

• Et heltall er delbart av #6# hvis det er delbart med 2 og med 3.

• Et heltall er delbart av #7# Hvis du trekker to ganger det siste sifferet fra heltallet som er dannet ved å fjerne det siste sifferet, er et flertall på 7.

• Et heltall er delbart av #8# hvis heltallet dannet av de tre siste sifrene er delbart med 8 (dette kan gjøres lettere ved å merke at regelen er den samme som for 4s hvis hundrevisesifferet er jevnt og motsatt ellers)

• Et heltall er delbart av #9# hvis summen av tallene er delbar med 9.

• Et heltall er delbart av #10# hvis siste siffer er #0#

For disse og mer, ta en titt på wikipedia-siden for delbarhetsregler.

Nå kan man lure på hvordan man skal komme opp med disse reglene, eller i det minste vise at de faktisk vil fungere. En måte å gjøre dette på er med en type matematikk kalt modulær aritmetikk.

I modulær aritmetikk velger vi et heltall # N # som modulus og så behandle hvert annet heltall som værende kongruent modulo # N # til resten når deles med # N #. En enkel måte å tenke på dette er at du kan legge til eller trekke fra # N # uten å endre verdien av et heltall modulo n. Dette er det samme som hvordan, på en analog klokke, legger tolv timer resultater på samme tid. Å legge til timer på en klokke er tilleggsmodul #12#.

Hva gjør modulær aritmetikk veldig nyttig for å bestemme delbarhetsregler er det for noen heltall #en# og positivt heltall # B #, kan vi si det #en# er delelig med # B # hvis og bare hvis

# a- = 0 "(mod b)" # (#en# er kongruent til #0# modulo # B #).

La oss bruke dette for å se hvorfor delbarheten gjelder for #3# virker. Vi gjør det ved å bruke et eksempel som skal vise det generelle konseptet. I dette eksemplet ser vi hvorfor #53412# er delelig med #3#. Husk at du legger til eller trekker fra #3# vil ikke endre verdien av et heltall modulo #3#.

#53412# er delelig med #3# hvis og bare hvis # 53412 - = 0 "(mod 3)" #

Men også fordi #10 -3 -3 -3 = 1#, vi har # 10 - = 1 "(mod 3)" #

Og dermed:

# 53412 - = 5 * 10 ^ 5 + 3 * 10 ^ 4 + 4 * 10 ^ 3 + 1 * 10 ^ 2 + 2 "(mod 3)" #

# - = 5 * 1 ^ 5 + 3 * 1 ^ 4 + 4 * 1 ^ 3 + 1 * 1 ^ 2 + 2 "(mod 3)" #

#color (rød) (- = 5 + 3 + 4 + 1 + 2 "(mod 3)") #

# - = 3 * 5 "(mod 3)" #

# - = 0 * 5 "(mod 3)" #

# - = 0 "(mod 3)" #

Og dermed #53412# er delelig med #3#. Trinnet i rødt viser hvorfor vi bare kan summe tallene og sjekke det i stedet for å prøve å dele det opprinnelige nummeret med #3#.