Er sqrt21 ekte tall, rasjonelt tall, hele tall, helhet, irrasjonelt tall?

Svar:

Det er et irrasjonelt tall og derfor ekte.

Forklaring:

La oss først bevise det #sqrt (21) # er et reelt tall, faktisk er kvadratroten av alle positive reelle tallene ekte. Hvis # X # er et reelt tall, da definerer vi for de positive tallene #sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x} #. Dette betyr at vi ser på alle reelle tall # Y # slik at # Y ^ 2 <= x # og ta det minste ekte tallet som er større enn alle disse # Y #s, den såkalte supremum. For negative tall, disse # Y #Det eksisterer ikke, siden for alle reelle tall, tar torget av dette nummeret et positivt tall, og alle positive tall er større enn negative tall.

For alle positive tall er det alltid noen # Y # som passer til tilstanden # Y ^ 2 <= x #, nemlig #0#. Videre er det en øvre grense til disse tallene, nemlig # x + 1 #, siden hvis # 0 <= y <1 #, deretter # X + 1> y #, hvis #Y> = 1 #, deretter #Y <= y ^ 2 <= x #, så # X + 1> y #. Vi kan vise at for hvert begrenset, ikke-tomt sett med reelle tall er det alltid et unikt reelt tall som fungerer som supremum på grunn av den såkalte fullstendigheten av # RR #. Så for alle positive reelle tall # X # det er en ekte #sqrt (x) #. Vi kan også vise det i dette tilfellet #sqrt (x) ^ 2 = x #, men med mindre du vil at jeg skal, vil jeg ikke bevise dette her. Til slutt bemerker vi det #sqrt (x)> = 0 #, siden #0# er et tall som passer til tilstanden, som nevnt tidligere.

Nå for irrasjonaliteten til #sqrt (21) #. Hvis det ikke var irrasjonelt (så rasjonelt), kunne vi skrive det som #sqrt (21) = a / b # med #en# og # B # hele tall og # A / b # forenklet så mye som mulig, noe som betyr det #en# og # B # har ingen felles divisor, bortsett fra #1#. Nå betyr dette at # 21 = a ^ 2 / b ^ 2 #.

Nå bruker vi noe som kalles den primære faktoriseringen av de naturlige tallene. Dette betyr at vi kan skrive ned hvert positivt hele tall som et unikt produkt av primtal. Til #21# dette er #3*7# og for #en# og # B # Dette er noe vilkårlig produkt av primater # A = a_1 * … * a_n # og # B = b_1 * … * b_m #. Det faktum at den eneste felles divisor av #en# og # B # er #1# svarer til det faktum at #en# og # B # Del ingen primater i deres faktorisering, så det er # A_i # og # B_j # slik at # A_i = b_j #. Dette betyr at # A ^ 2 # og # B ^ 2 # Del heller ikke noen primater siden # A ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # og # B ^ 2 = b_1 * b_1 * … b_m * b_m #., derfor den eneste felles divisor av # A ^ 2 # og # B ^ 2 # er #1#. Siden # A ^ 2 = 21 b ^ 2 #, Dette betyr # B ^ 2 = 1 #, så # B = 1 #. Derfor #sqrt (21) = a #. Vær oppmerksom på at dette bare holder under forutsetningen om at #sqrt (21) # er rasjonell.

Nå kunne vi selvfølgelig løpe gjennom alle positive positive tall mindre enn #21# og sjekk om kvadrering gir dem #21#, men dette er en kjedelig metode. For å gjøre det på en mer interessant måte, vender vi igjen til våre primer. Vi vet det # A ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # og #21=3*7#, så # 3 * 7 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n #. På venstre side forekommer hver primitiv bare en gang, til høyre, forekommer hvert primært minst to ganger, og alltid en jevn mengde ganger (hvis # A_1 = a_n # det ville for instace forekomme minst fire ganger). Men som vi har uttalt, er disse primære faktoriseringene unike, så dette kan ikke være riktig. Derfor # 21nea ^ 2 #, så #anesqrt (21) #, noe som betyr at vår tidligere antagelse om #sqrt (21) # Å være rasjonell viser seg å være feil, derfor #sqrt (21) # er irrasjonell.

Merk at det samme argumentet gjelder for et positivt hele nummer # X # med en primær faktorisering hvor et av primene kommer til å være ujevnt antall ganger, siden kvadratet av et helt tall alltid har alle sine hovedfaktorer som gir en jevn mengde ganger. Fra dette konkluderer vi at hvis # X # er et positivt hele tall (#x inNN #) har en primær faktor som oppstår bare en ujevn mengde ganger, #sqrt (x) # vil være irrasjonell.

Jeg er klar over at dette beviset kan virke litt lenge, men det bruker viktige begreper som matematikk. Sannsynligvis i noen videregående læreplaner, er disse typen resonnementer ikke inkludert (jeg er ikke 100% sikker på at jeg ikke vet læreplanen for hver videregående skole i verden), men for de faktiske matematikere er det å bevise at ting er en av de viktigste aktiviteter de gjør. Derfor ønsket jeg å vise deg hva slags matematikk som ligger bak å ta kvadratroten av ting. Det du trenger å ta bort fra dette, er det faktisk #sqrt (21) # er et irrasjonelt tall.