Svar:
# {: ("Kritisk punkt", "Konklusjon"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "sadel"), ((-1,2) "), ((-5 / 3,0)," maks "):} #
Forklaring:
Teorien om å identifisere ekstrem av
- Løs samtidig de kritiske ligningene
# (delvis f) / (delvis x) = (delvis f) / (delvis y) = 0 # (dvs# Z_x = z_y = 0 # ) - Evaluere
#f_ (x x), f_ (yy) og f_ (xy) (= f_ (yx)) # på hvert av disse kritiske punktene. Derfor evaluere# Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # på hvert av disse punktene - Bestem ekstrems natur
# {: (Delta> 0, "Det er minimum hvis" f_ (xx) <0), ("og et maksimum hvis" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "det er et salepunkt"), (Delta = 0, "Videre analyse er nødvendig"):} #
Så vi har:
# f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #
La oss finne de første partielle derivatene:
# (delvis f) / (delvis x) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #
# (delvis f) / (delvis y) = 2xy + 2y #
Så våre kritiske ligninger er:
# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #
# 2xy + 2y = 0 #
Fra den andre ligningen har vi:
# 2y (x + 1) = 0 => x = -1, y = 0 #
Subs
# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #
Subs
# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 => x = -5 / 3,0 #
Og så har vi fire kritiske punkter med koordinater;
# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #
Så, la oss nå se på de andre partielle derivatene slik at vi kan bestemme karakteren til de kritiske punktene:
# (delvis ^ 2f) / (delvis x ^ 2) = 12x + 10 #
# (delvis ^ 2f) / (delvis y ^ 2) = 2x + 2 #
# (delvis ^ 2f) / (delvis x delvis y) = 2y (= (delvis ^ 2f) / (delvis y delvis x)) #
Og vi må beregne:
(Delvist ^ 2f) / (delvis ^ 2f) / (delvis ^ 2f) / (delvis ^ 2f) / (delvis x delvis y)) ^ 2 #
på hvert kritisk punkt. Den andre partielle derivatverdien,
# (: ("Critical Point", (partial ^ 2f) / (partial x ^ 2), (partial ^ 2f) / (partial y ^ 2), (partial ^ 2f) / "Konklusjon"), (0,0), 10,2,0, gt 0, f_ (xx)> 0 => "min"), ((-1, -2), - 2,0,4, 0, "sadel"), ((-1,2), - 2,0,4, 0, "sadel"), ((-5 / 3,0), - 10, -4 / 3,0, gt 0, f_ (xx) <0 => "max"):} #
Vi kan se disse kritiske punktene hvis vi ser på et 3D-plott:
