Svar:
Senter: #(2,-1)#
toppunkter: # (2, 1/2) og (2, -5 / 2) #
Co-Hjørner: # (1, -1) og (3, -1) #
fokus: # (2, (-2 + sqrt (5)) / 2) og (2, (2-sqrt (5)) / 2) #
eksentrisitet: #sqrt (5) / 3 #
Forklaring:
Teknikken vi vil bruke kalles å fullføre torget. Vi skal bruke den på # X # Vilkår først og deretter # Y #.
Omarrangere til
# 9x ^ 2 + 4y ^ 2 - 36x + 8y = -31 #
Fokuserer på # X #, dele gjennom av # X ^ 2 # koeffisient og legg til kvadratet av halvparten av koeffisienten til # X ^ 1 # sikt til begge sider:
# x ^ 2 + 4 / 9y ^ 2 - 4x + 8 / 9y + (- 2) ^ 2 = -31/9 + (-2) ^ 2 #
# (x-2) ^ 2 + 4 / 9y ^ 2 + 8 / 9y = 5/9 #
Fordel gjennom # Y ^ 2 # koeffisient og legg til en firkant på halvparten av koeffisienten til # Y ^ 1 # sikt til begge sider:
# 9/4 (x-2) ^ 2 + y ^ 2 + 2y + (1) ^ 2 = 5/4 + (1) ^ 2 #
# 9/4 (x-2) ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = 9/4 #
Delt på #9/4# for å forenkle:
# (x-2) ^ 2 + 4/9 (y + 1) ^ 2 = 1 #
# (x-2) ^ 2/1 + ((y + 1) ^ 2) / (9/4) = 1 #
Generell ligning er
# (x-a) ^ 2 / h ^ 2 + (y-b) ^ 2 / k ^ 2 = 1 #
hvor # (A, b) # er sentrum og #h, k # er halv-mindre / hovedaksen.
Lesing av sentrum gir #(2, -1)#.
I dette tilfellet er det # Y # retning har en større verdi enn den # X #, så ellipsen vil bli strukket i # Y # retning. # k ^ 2> h ^ 2 #
Hjulene oppnås ved å bevege hovedakselen fra midten. Dvs # + - sqrt (k) # lagt til y-koordinaten til senteret.
Dette gir # (2, 1/2) og (2, -5/2) #.
Sampunktene ligger på mindre akse. Vi legger til # + - sqrt (h) # til senterets x-koordinat for å finne disse.
# (1, -1) og (3, -1) #
Nå, for å finne foci:
# c ^ 2 = k ^ 2 - h ^ 2 #
# c ^ 2 = 9/4 - 1 #
# c ^ 2 = 5/4 betyr c = + -sqrt (5) / 2 #
Foci vil bli plassert langs linjen #x = 2 # på # + - sqrt (5) / 2 # fra #y = -1 #.
#derfor# foci på # (2, (-2 + sqrt (5)) / 2) og (2, (2-sqrt (5)) / 2) #
Endelig finnes eksentrisiteten ved hjelp av
# E = sqrt (1-t ^ 2 / k ^ 2) #
# e = sqrt (1-1 / (9/4)) = sqrt (1-4 / 9) = sqrt (5) / 3 #
