Spørsmål # 059f6

Svar:

# x (x) = sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (X-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (X-1) 1) ^ (2k + 1) #

Forklaring:

Taylorutviklingen av en funksjon # F # på #en# er (xa) ^ n = f (a) + f '(a) (xa) + f ^ ((n =) 2)) (a) / (2) (xa) ^ 2 + … #.

Husk at det er en kraftserie så det ikke nødvendigvis konvergerer til # F # eller til og med konvergere et annet sted enn på # x = a #.

Vi trenger først derivatene av # F # hvis vi ønsker å prøve å skrive en ekte formel i sin Taylor-serie.

Etter kalkulator og induksjonssikker kan vi si det #AAk i NN: f ^ (2k)) (x) = (-1) ^ (k + 1) 2kcos (x-1) + (-1) ^ (k) xsin (x-1) # og (x-1) + xcos (x-1)) # x ^ (2k + 1)) (x) = (-1) ^ k ((2k + 1) sin.

Så etter litt grov og liten forenkling ser det ut til at Taylor-serien av # F # er (x-1) ^ (2k) + (2k)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) 1) #.