Er det en systematisk måte å bestemme antall tall mellom 10 og si 50, delbare med sine enheter siffer?

Svar:

Antall tall mellom #10# og # 10k # delbart av deres enheter siffer kan representeres som

#sum_ (n = 1) ^ 9fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

hvor #fl (x) # representerer gulvfunksjonen, kartlegging # X # til størst heltall mindre enn eller lik # X #.

Forklaring:

Dette tilsvarer å spørre hvor mange heltall #en# og # B # eksisterer der 1 <= b <5 # og 1 <= a <= 9 # og #en# skillelinjer # 10b + a #

Noter det #en# skillelinjer # 10b + a # hvis og bare hvis #en# skillelinjer # 10b #. Dermed er det nok å finne hvor mange slike # B #s eksisterer for hver #en#. Legg også merke til det #en# skillelinjer # 10b # hvis og bare hvis hver hovedfaktor for #en# Det er også en viktig faktor for # 10b # med passende mangfold.

Alt som er igjen, er å gå gjennom hver #en#.

#a = 1 #: Som alle heltall deles av #1#, alle fire verdier for # B # arbeid.

# A = 2 #: Som #10# er delelig med #2#, alle fire verdier for # B # arbeid.

# A = 3 #: Som #10# er ikke delelig med #3#, må vi ha # B # være delelig med #3#, det er, # B = 3 #.

# A = 4 #: Som #10# er delelig med #2#, må vi ha # B # så delelig med #2# å ha den riktige mangfoldigheten. Og dermed, # B = 2 # eller # B = 4 #.

# A = 5 #: Som #10# er delelig med #5#, alle fire verdier for # B # arbeid.

# A = 6 #: Som #10# er delelig med #2#, må vi ha # B # så delelig med #3#, det er, # B = 3 #.

# A = 7 #: Som #10# er ikke delelig med #7#, må vi ha # B # så delelig med #7#. Men #b <5 #, og så ingen verdi for # B # virker.

# A = 8 #: Som #10# er delelig med #2#, må vi ha # B # så delelig med #4#, det er, # B = 4 #

# A = 9: # Som #10# er ikke delelig med #3#, må vi ha # B # så delelig med #3^2#. Men #b <5 #, og så ingen verdi for # B # virker.

Dette konkluderer hvert tilfelle, og så legger vi til dem, får vi, som konkludert med spørsmålet, #17# verdier. Denne metoden kan imidlertid lett utvides til større verdier. For eksempel, hvis vi ønsket å gå fra #10# til #1000#, ville vi begrense 1 <= b <100 #. Så ser du på # A = 6 #si, vi ville ha #2# skillelinjer #10# og dermed #6# skillelinjer # 10b # hvis og bare hvis #3# skillelinjer # B #. Det er #33# multipler av #3# i området for # B #, og dermed #33# tall som slutter i #6# og er delelig med #6# mellom #10# og #1000#.

I en kortere, enklere å beregne notasjon, ved hjelp av observasjonene ovenfor, kan vi skrive antall heltall mellom #10# og # 10k # som

# sum_ (n = 1) ^ 9fl (k / (n / gcd (n, 10))) = sum_ (n = 1) ^ 9f ((k * gcd (n, 10)) / n)

hvor #fl (x) # representerer gulvfunksjonen, kartlegging # X # til størst heltall mindre enn eller lik # X #.