Vurder den kvadratiske ligningen # x ^ 2 + 4x + 4 = 0 #, som på venstre side også er et perfekt kvadratisk trinomial. Factoring å løse:
# => (x + 2) (x + 2) = 0 #
# => x = -2 og -2 #
To identiske løsninger! Husk at løsningene av en kvadratisk ligning er x-avgrensningene på den tilsvarende kvadratiske funksjonen.
Så, løsningene til ligningen # x ^ 2 + 5x + 6 = 0 #, for eksempel vil x-interceptene bli gradert på grafen til #y = x ^ 2 + 5x + 6 #.
Tilsvarende, løsningene til ligningen # x ^ 2 + 4x + 4 = 0 # vil være x avskjærer på grafen av #y = x ^ 2 + 4x + 4 #.
Siden det er egentlig bare en løsning på # x ^ 2 + 4x + 4 = 0 #, funksjonens toppunkt #y = x ^ 2 + 4x + 4 # ligger på x-aksen.
Nå tenk på diskriminanten av en kvadratisk ligning. Hvis du ikke har tidligere erfaring med det, ikke bekymre deg.
Vi bruker diskriminanten, # b ^ 2 - 4ac #, for å verifisere hvor mange løsninger, og løsningen skriver, en kvadratisk ligning av skjemaet # ax ^ 2 + bx + c = 0 # kan ha uten å løse ligningen.
Når diskriminanten er mindre enn #0#, vil ligningen ha ingen løsning. Når diskriminanten tilsvarer nøyaktig null, vil ligningen ha nøyaktig en løsning. Når diskriminanten er lik et tall mer enn null, vil det være nøyaktig to løsninger. Hvis det aktuelle nummeret du får som et resultat er et perfekt firkant i sistnevnte tilfelle, vil ligningen ha to rasjonelle løsninger. Hvis ikke, vil det ha to irrasjonelle løsninger.
Jeg har allerede vist at når du har en perfekt firkantet trinomial, har du to identiske løsninger, som er lik en løsning. Derfor kan vi sette diskriminanten til #0# og løse for # C #.
Hvor #a = 1, b = 14 og c =? #:
# b ^ 2 - 4ac = 0 #
# 14 ^ 2 - 4 xx 1 xx c = 0 #
# 196 - 4c = 0 #
# 4c = 196 #
#c = 49 #
Dermed er det perfekte firkantet trinomial med #a = 1 og b = 14 # er # x ^ 2 + 14x + 49 #. Vi kan bekrefte dette ved factoring.
# x ^ 2 + 14x + 49 = (x + 7) (x + 7) = (x + 7) ^ 2 #
Øvelseøvelser:
- Bruk diskriminanten til å bestemme verdiene for #a, b eller c # som gir tromomene perfekte firkanter.
en) # ax ^ 2 - 12x + 4 #
b) # 25x ^ 2 + bx + 64 #
c) # 49x ^ 2 + 14x + c #
Forhåpentligvis hjelper dette, og lykke til!
