Hva er de mulige rasjonelle røttene x ^ 5 -12x ^ 4 +2 x ^ 3 -3x ^ 2 + 8x-12 = 0?

Svar:

Denne kvintikken har ingen rasjonelle røtter.

Forklaring:

#f (x) = x ^ 5-12x ^ 4 + 2x ^ 3-3x ^ 2 + 8x-12 #

Ved rationell rotteorem, noen nuller av #f (x) # er uttrykkbare i skjemaet # P / q # for heltall #p, q # med # P # en divisor av den konstante sikt #-12# og # Q # en divisor av koeffisienten #1# av ledende begrepet.

Det betyr at det eneste som er mulig rasjonell nuller er:

#+-1, +-2, +-3, +-4, +-6, +-12#

Noter det #f (-x) = -x ^ 5-12x ^ 4-2x ^ 3-3x ^ 2-8x-12 # har alle negative koeffisienter. derav #f (x) # har ingen negative nuller.

Så det eneste som er mulig rasjonell nuller er:

#1, 2, 3, 4, 6, 12#

Vurderer #f (x) # For hver av disse verdiene finner vi ingen er null. Så #f (x) # har ingen rasjonell nuller.

Til felles med de fleste quintics og polynomier av høyere grad er nullene ikke uttrykkelige i form av # N #th røtter eller elementære funksjoner, inkludert trigonometriske funksjoner.

Du kan bruke numeriske metoder som Durand-Kerner til å finne tilnærminger:

# x_1 ~ ~ 11.8484 #

#x_ (2,3) ~~ -0,640414 + -0,877123i #

#x_ (4,5) ~~ 0,716229 + -0,587964i #