Hva er derivatet av f (x) = (log_6 (x)) ^ 2?

Metode 1:

Vi vil begynne med å bruke regelen om endring av basis for å omskrive #f (x) # ekvivalent som:

#f (x) = (lnx / ln6) ^ 2 #

Vi vet det # d / dx ln x = 1 / x #.

(Hvis denne identiteten ser ukjent, sjekk noen av videoene på denne siden for nærmere forklaring)

Så, vi vil anvende kjeden regel:

#f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * d / dx ln x / ln 6 #

Derivatet av #ln x / 6 # vil være # 1 / (xln6) #:

#f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * 1 / (xln 6) #

Forenkling gir oss:

#f '(x) = (2lnx) / (x (ln6) ^ 2) #

Metode 2:

Den første tingen å merke seg er det bare # d / dx ln (x) = 1 / x # hvor #ln = log_e #. Med andre ord, bare hvis basen er # E #.

Vi må derfor konvertere # Log_6 # til et uttrykk som bare har #log_e = ln #. Dette bruker vi faktisk

#log_a b = (log_ {n} b) / (log_ {n} a) = (ln b) / ln a # når # N = e #

Nå, la #z = (ln x / ln 6) # så det #f (x) = z ^ 2 #

Derfor, (d / dz z ^ 2) (dz / dx) = 2z d / dx (ln x / ln 6) #f '(x) = d / dxz ^ 2 =

# = (2z) / (ln 6) d / dx ln x = (2z) / (ln 6) 1 / x #

(Ln x / ln 6) (1 / x) = (2 ln x) / (x * (ln 6) ^ 2) #