Svar:
Vennligst se forklaringen nedenfor
Forklaring:
Funksjonen er
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
De partielle derivatene er
# (Delf) / (delx) = 2x + y + 3 #
# (Delf) / (dely) = 2y + x-3 #
La # (Delf) / (delx) = 0 # og # (Delf) / (dely) = 0 #
Deretter, # {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} #
#=>#, # {(X = -3), (y = 3):} #
# (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (Del ^ 2f) / (Dely ^ 2) = 2 #
# (Del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (Del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
Hessian matrisen er
#Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) #
Determinant er
# D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | #
#=4-1=3 >0#
Derfor, Det er ingen sadelpunkter.
# D (1,1)> 0 # og # (Del ^ 2f) / (delx ^ 2)> 0 #, det er et lokalt minimum på #(-3,3)#
Svar:
Lokalt minimum: #(-3,3)#
Forklaring:
Poenggruppen som inneholder både ekstrem og sadelpunkter, finnes når begge deler # (Delf) / (delx) (x, y) # og # (Delf) / (Dely) (x, y) # er lik null.
Forutsatt # X # og # Y # er uavhengige variabler:
# (Delf) / (delx) (x, y) = 2x + y + 3 #
# (Delf) / (dely) (x, y) = x + 2y-3 #
Så vi har to samtidige ligninger, som gjerne tilfeldigvis er lineære:
# 2x + y + 3 = 0 #
# X + 2y-3 = 0 #
Fra den første:
# Y = -2x-3 #
Bytt inn i den andre:
# x + 2 (-2x-3) -3 = 0 #
# x-4x-6-3 = 0 #
# -3x-9 = 0 #
# x = -3 #
Bytt tilbake til den første:
# 2 (-3) + y + 3 = 0 #
# -6 + y + 3 = 0 #
# -3 + y = 0 #
# Y = 3 #
Så det er ett punkt hvor de første derivatene jevnt blir null, enten en ekstrem eller en sadel, på # (X, y) = (- 3,3) #.
For å utlede hvilken, må vi beregne matrisen for andre derivater, Hessian-matrisen (http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix):
# (((Del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) #
# (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (Del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (Del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
# (Del ^ 2f) / (Dely ^ 2) = 2 #
Og dermed
# (((Del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) = ((2,1), (1,2)) #
Alle andre ordningsderivater er jevnt konstant uansett verdiene til # X # og # Y #, så vi trenger ikke spesifikt å beregne verdiene for interessepunktet.
NB Bestillingen av differensiering er ikke viktig for funksjoner med kontinuerlige andre derivater (Clairaults teorem, søknad her: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives), og derfor forventer vi at # (Del ^ 2f) / (delxdely) = (del ^ 2f) / (delydelx) #, som vi ser i vårt spesifikke resultat ovenfor.
I dette tovariøse tilfellet kan vi utlede typen poeng fra determinanten til hessianen, # (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) (del ^ 2f) / (dely ^ 2) - (del ^ 2f) / (delxdely) (del ^ 2f) / (delydelx) = 4-1 = 3 #.
En form for testen som skal administreres er gitt her:
Vi ser at determinant er #>0#, og det er også # (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) #. Så konkluderer vi det #(-3,3)#, det eneste punktet med null første derivat, er et lokalt minimum av funksjonen.
Som en sunnhetskontroll for et etdimensjonalt funksjonsspørsmål, pleier jeg vanligvis å legge inn grafen av det, men Socratic har ikke en overflate- eller konturplottingsanordning som passer for todimensjonale funksjoner, så vidt jeg kan se. Så jeg vil oversplotte de to funksjonene #f (-3, y) # og #f (x, 3) #, som ikke karakteriserer hele funksjonsdomenet for oss, men vil vise oss minimumet mellom dem, som vises som forventet på # Y = 3 # og # x = -3 #, tar identisk funksjonsverdi # F = -5 # i hvert tilfelle.
Som #f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
#f (-3, y) = y ^ 2-6y + 4 #
#f (x, 3) = x ^ 2 + 6x + 4 #
graf {(x- (y ^ 2-6y + 4)) (y- (x ^ 2 + 6x + 4)) = 0 -10, 5, -6,7}
