Hva er verdien av? lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / sin x ^ 2

Svar:

# lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 #

Forklaring:

Vi søker:

# L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) #

Både telleren og den2nevneren #rarr 0 # som #x rarr 0 #. dermed grensen # L # (hvis den eksisterer) har en ubestemt form #0/0#, og derfor kan vi søke L'Hôpitals regel for å få:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

(d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

Nå bruker du grunnleggende teorem for kalkulator:

# d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) #

Og,

# d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) #

Og så:

# L = lim_ (x rarr 0) synd (x ^ 2) / (2xcos (x ^ 2)) #

Igjen er dette en ubestemt form #0/0#, og derfor kan vi søke L'Hôpitals regel igjen for å få:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx sin (x ^ 2)) / (d / dx 2xcos (x ^ 2)) #

(2 xcos (x ^ 2)) / (2cos (x ^ 2) -4x ^ 2sin (x ^ 2)) #

Som vi kan evaluere:

# L = (0) / (2-0) = 0 #