Hvordan finner du toppunktet for en kvadratisk ligning?

Svar:

Bruk formelen # -B / (2a) # for x-koordinaten og koble den inn for å finne y.

Forklaring:

En kvadratisk ligning er skrevet som # Ax ^ 2 + bx + c # i sin standardform. Og toppunktet kan bli funnet ved å bruke formelen # -B / (2a) #.

For eksempel, la oss anta at vårt problem er å finne ut vertex (x, y) av den kvadratiske ligningen # X ^ 2 + 2x-3 #.

1) Vurdere a, b og c verdiene. I dette eksemplet er a = 1, b = 2 og c = -3

2) Sett inn verdiene dine i formelen # -B / (2a) #. For dette eksempelet får du #-2/(2*1)# som kan forenkles til -1.

3) Du har nettopp funnet x-koordinaten på toppunktet ditt! Sett nå -1 for x i ligningen for å finne ut y-koordinaten.

4) # (- 1) ^ 2 + 2 (-1) -3 = y #.

5) Etter å forenkle ovennevnte ligning får du: 1-2-3 som er lik -4.

6) Ditt endelige svar er (-1, -4)!

Håper det hjalp.

Svar:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # har et toppunkt på # (- (b) / (2a), - (b2-24ac) / (4a)) #

Forklaring:

Tenk på et generelt kvadratisk uttrykk:

# f (x) = økse ^ 2 + bx + c = 0 #

og dens tilhørende ligning #f (x) = 0 #:

# => øks ^ 2 + bx + c = 0 #

Med røtter, # Alfa # og # Beta #.

Vi vet (ved symmetri - se nedenfor for bevis) at toppunktet (enten maksimum eller minimum) er midtpunktet til de to rotene, den # X #-koordinat av toppunktet er:

# x_1 = (alfa + beta) / 2 #

Men husk de godt studerte egenskapene:

# {: ("summen av røtter", = alfa + beta, = -b / a), ("produkt av røtter", = alfa beta, = c / a):}

Og dermed:

# x_1 = - (b) / (2a) #

Gir oss:

# f (x_1) = a (- (b) / (2a)) ^ 2 + b (- (b) / (2a)) + c #

# = (b ^ 2) / (4a) - b ^ 2 / (2a) + c #

# = (4ac - b ^ 2) / (4a) #

# = - (b ^ 2 - 4ac) / (4a) #

Og dermed:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # har et toppunkt på # (- (b) / (2a), - (b2-24ac) / (4a)) #

Bevis på midtpunkt:

Hvis vi har

# f (x) = økse ^ 2 + bx + c = 0 #

Deretter differensierer wt # X #:

# f '(x) = 2ax + b #

På et kritisk punkt, det første derivatet, #f '(x) # forsvinner, noe som krever at:

# f '(x) = 0 #

#:. 2ax + b = 0 #

#:. x = -b / (2a) # QED