Spørsmål # f8e6c

Svar:

Uttrykk det som en geometrisk serie for å finne summen er #12500/3#.

Forklaring:

La oss uttrykke dette som en sum:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (1,12) ^ - k #

Siden #1.12=112/100=28/25#, dette tilsvarer:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (28/25) ^ - k #

Bruke det faktum at # (A / b) ^ - c = (1 / (a / b)) ^ c = (B / A) ^ c #, vi har:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (25/28) ^ k #

Også, vi kan trekke #500# ut av summeringssignalet, slik:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

Ok, nå hva er dette? Vi vil, #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k # er det som kalles en geometrisk serie. Geometrisk serie involverer en eksponent, som er akkurat det vi har her. Den fantastiske tingen om geometriske serier som denne er at de oppsummerer # R / (1-R) #, hvor # R # er fellesforholdet; dvs. tallet som er hevet til eksponenten. I dette tilfellet, # R # er #25/28#, fordi #25/28# er det som heves til eksponenten. (Side notat: # R # må være mellom #-1# og #1#, ellers ser serien ikke opp til noe.)

Derfor er summen av denne serien:

#(25/28)/(1-25/28)#

#=(25/28)/(3/28)#

#=25/28*28/3=25/3#

Vi har nettopp oppdaget det #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k = 25/3 #, så det eneste som er igjen er å multiplisere det med #500#:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

#=500*25/3#

#=12500/3~~4166.667#

Du kan finne ut mer om geometriske serier her (jeg oppfordrer deg til å se hele serien Khan Academy har på geometriske serier).