Hva er derivatet av barneseng ^ 2 (x)?

SVAR

# d / dx barneseng ^ 2 (x) = -2cot (x) csc ^ 2 (x) #

FORKLARING

Du vil bruke kjedelinjen til å løse dette. For å gjøre det må du avgjøre hva "ytre" funksjonen er og hvilken "indre" funksjon som er komponert i den ytre funksjonen.

I dette tilfellet, #cot (x) # er den "indre" funksjonen som er komponert som en del av # Cot ^ 2 (x) #. For å se på det på en annen måte, la oss angi # U = cot (x) # så det # U ^ 2 = cot ^ 2 (x) #. Legg merke til hvordan komposittfunksjonen fungerer her? Den "ytre" funksjonen til # U ^ 2 # kvadrater den indre funksjonen til # U = cot (x) #. Ytre funksjonen bestemte hva som skjedde med den indre funksjonen.

Ikke la # u # forvirre deg, det er bare å vise deg hvordan en funksjon er en sammensatt av den andre. Du trenger ikke engang å bruke den. Når du forstår dette, kan du utlede.

Kjederegelen er:

# F '(x) = f (g (x)) (g' (x)) #

Eller, i ord:

Derivat av ytre funksjonen (med innsiden funksjonen igjen alene!) ganger derivatet av den indre funksjonen.

1) Derivat av ytre funksjon # U ^ 2 = cot ^ 2 (x) # (med innsiden funksjonen igjen alene) er:

# d / dx u ^ 2 = 2u #

(Jeg forlater # U # i for nå, men du kan dele inn # U = cot (x) # hvis du vil mens du gjør trinnene. Husk at disse er bare trinn, selve avledet av spørsmålet er vist nederst)

2) Derivat av den indre funksjonen:

# d / dx barneseng (x) = d / dx 1 / tan (x) = d / dx sin (x) / cos (x) #

Vent litt! Du må gjøre en kvotientregel her, med mindre du har lagret derivatet av #cot (x) #

# d / dx cos (x) / sin (x) = (- sin ^ 2 (x) -cos ^ 2x) / (sin ^ 2 (x)) = - (sin ^ 2 (x) + cos ^ 2x) / (sin ^ 2 (x)) = -1 / (sin ^ 2 (x)) = -scsc ^ 2 (x) #

Kombinere de to trinnene gjennom multiplikasjon for å få derivatet:

# d / dx barneseng ^ 2 (x) = -2cot (x) csc ^ 2 (x) #