Vis at int_0 ^ 1sinx / sqrt (x ^ 2 + 1) dx

Svar:

Se forklaring

Vi vil vise

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Dette er en ganske "stygg" integral, så vår tilnærming vil ikke være å løse dette integralet, men sammenligne det med en "bedre" integral

Vi nå det for alle positive reelle tall #COLOR (red) (sin (x) <= x) #

Dermed vil integandens verdi også bli større, for alle positive reelle tall, hvis vi erstatter # X = sin (x) #, så hvis vi kan vise

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Da må vår første uttalelse også være sant

Det nye integralet er et enkelt substitusjonsproblem

# Int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) = sqrt (x ^ 2 + 1) _ 0 ^ 1 = sqrt (2) -1 #

Det siste trinnet er å legge merke til det #sin (x) = x => x = 0 #

Derfor kan vi konkludere

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #