Hva er derivatet av -sin (x)?

Det forrige svaret inneholder feil. Her er riktig avledning.

Først av alt, minustegnet foran en funksjon #f (x) = - sin (x) #, når du tar et derivat, ville endre tegn på et derivat av en funksjon #f (x) = sin (x) # til motsatt. Dette er en enkel teorem i teorien om grenser: grense for en konstant multiplisert med en variabel er lik denne konstanten multiplisert med en grense for en variabel. Så, la oss finne avledet av #f (x) = sin (x) # og deretter multiplisere det med #-1#.

Vi må starte fra følgende erklæring om grensen for trigonometrisk funksjon #f (x) = sin (x) # som argumentet har en tendens til null:

#lim_ (H-> 0) sin (h) / h = 1 #

Bevis for dette er rent geometrisk og er basert på en definisjon av en funksjon #sin (x) #. Det er mange webressurser som inneholder et bevis på denne utsagnet, som The Math Page.

Ved å bruke dette kan vi beregne et derivat av #f (x) = sin (x) #:

#f '(x) = lim_ (h-> 0) (sin (x + h) -sin (x)) / h #

Bruke representasjon av en forskjell på #synd# Fungerer som et produkt av #synd# og # cos # (se Unizor, Trigonometri - Trig Summen av vinkler - Problemer 4), #f '(x) = lim_ (h-> 0) (2 * sin (h / 2) cos (x + h / 2)) / h #

#f '(x) = lim_ (h-> 0) sin (h / 2) / (h / 2) * lim_ (h-> 0) cos (x + h / 2)

#f '(x) = 1 * cos (x) = cos (x) #

Derfor, derivat av #f (x) = - sin (x) # er #f '(x) = - cos (x) #.