Svar:
Hint 1: Anta at han likning # x ^ 2 + x-u = 0 # med # U # et heltall har heltalløsning # N #. Vis det # U # er jevn.
Forklaring:
Hvis # N # er en løsning det er et heltall # M # slik at
# x ^ 2 + x-u = (x-n) (x + m) #
Hvor #nm = u # og # m-n = 1 #
Men den andre ligningen innebærer det #m = n + 1 #
Nå begge deler # M # og # N # er heltall, så en av # N #, # N + 1 # er jevn og #nm = u # er jevn.
Forslag
Hvis # U # er et merkelig heltall, deretter ligningen # x ^ 2 + x - u = 0 # har ingen løsning som er et heltall.
Bevis
Anta at det finnes et heltall # M # av ligningen:
# x ^ 2 + x - u = 0 #
hvor # U # er et merkelig heltall. Vi må undersøke de to mulige tilfellene:
# M # er merkelig eller
# M # er jevn.
La oss først vurdere saken hvor # M # er merkelig, så finnes det et heltall # K # slik at:
# m = 2k + 1 #
Nå siden # M # er en rot av vår ligning, må det være det:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k + 1) ^ 2 + (2k + 1) - u = 0 #
#:. (4k ^ 2 + 4k + 1) + (2k + 1) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 6k + 2 - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 6k + 2 #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) #
Og vi har en motsetning, som # 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) # er jevn, men # U # er merkelig.
La oss da vurdere saken hvor # M # er jevn, så finnes det et heltall # K # slik at:
# m = 2k #
Tilsvarende, siden # M # er en rot av vår ligning, må det være det:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k) ^ 2 + (2k) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 2k - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 2k #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + k) #
Og igjen har vi en motsetning, som # 2 (2k ^ 2 + k) # er jevn, men # U # er merkelig.
Så vi har bevist at det ikke er en helhetlig løsning av ligningen # x ^ 2 + x - u = 0 # hvor # U # er et merkelig heltall.
Derfor er forslaget bevist. QED
Svar:
Se nedenfor.
Forklaring:
Hvis # X ^ 2 + x-u = 0 # deretter
#X (x + 1) = u # så hvis # X # er et heltall, #X (x + 1) # er jevn, er en motsetning fordi # U # av hypotesen er merkelig.
