Hvordan finner du området med et parallellogram med hjørner?

Svar:

For parallellogram # ABCD # Området er

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Forklaring:

La oss anta at vårt parallellogram # ABCD # er definert av koordinatene til sine fire hjørner - # X_A, y_A #, # X_B, y_B #, # X_C, y_C #, # X_D, y_D #.

For å bestemme området for vårt parallellogram, trenger vi lengden på basen # | AB | # og høyden # | DH | # fra toppunktet # D # å peke # H # på side # AB # (det er, #DH_ | _AB #).

Først av alt, for å forenkle oppgaven, la oss flytte den til en posisjon når dens toppunkt #EN# sammenfaller med koordinatets opprinnelse. Området vil være det samme, men beregninger blir enklere.

Så, vi vil utføre følgende transformasjon av koordinater:

# U = x-x_A #

# V = y-y_A #

Og så (# U, V #) koordinater for alle hjørner vil være:

#A U_A = 0, V_B = 0 #

#B U_B = x_B-x_A, V_B = y_B-y_A #

#C U_C = x_C-x_A, Vqq = y_C-y_A #

# D U_D = x_D-x_A, V_D = y_D-y_A #

Vår parallellogram er nå definert av to vektorer:

# P = (U_B, V_B) # og # Q = (U_D, V_D) #

Bestem lengden på basen # AB # som lengden på vektoren # P #:

# | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #

Lengden på høyden # | DH | # kan uttrykkes som # | AD | * sin (/ _ BAD) #.

Lengden # AD # er lengden på vektoren # Q #:

# | AD | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Angle # / _ BAD # kan bestemmes ved å bruke to uttrykk for det skalære (dot) produkt av vektorer # P # og # Q #:

# (P * q) = U_B * U_D + V_B * V_D = | p | * | q | * cos (/ _ BAD) #

hvorfra

# cos ^ 2 (/ _ BAD) = (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

# Sin ^ 2 (/ _ BAD) = 1-cos ^ 2 (/ _ BAD) = #

# = 1- (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) = #

(U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Nå vet vi alle komponenter for å beregne området:

Utgangspunkt # | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #:

Høyde # | DH | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | U_A * V_D-V_A * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Området er deres produkt:

#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D | #

Når det gjelder originale koordinater, ser det slik ut:

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Svar:

en annen diskusjon

Forklaring:

Geometrisk bevis

Tatt i betraktning figuren

Vi kan enkelt etablere formelen for beregning av arealet av et parallellogram ABCD, når noen tre punkter (f.eks. A, B, D) er kjent.

Siden diagonal BD halverer parallellogrammet i to kongruente trekant.

Området for parallellogrammet ABCD

= 2 område av trekant ABD

= 2 område av trapes BAPQ + område av felle BQRD - område av felle DAPR

=2# 1/2 (AP + BQ) PQ + 1/2 (BQ + DR) QR-1/2 (AP + DR) PR #

= # (Y_A + Y_B) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B) - (Y_A + Y_D) (X_D-X_A) #

=# Y_AX_B + avbryt (Y_BX_B) -kanal (Y_AX_A) -Y_BX_A + Y_BX_D + avbryt (Y_DX_D) -kanal (Y_BX_B) -Y_AX_D-avbryt (Y_DX_D) + avbryt (Y_AX_A) + Y_DX_A #

=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) #

Denne formelen vil gi området til parallellogrammet.

Bevis å betrakte vektor

Det kan også etableres med tanke på #vec (AB) # og# vec (AD) #

Nå

Posisjonsvektor av punkt A w.r, t opprinnelsen O, #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahatj #

Posisjonsvektor av punkt B w.r, t opprinnelsen O, #vec (OB) = X_Bhati + Y_Bhatj #

Posisjonsvektor av punkt D w.r, t opprinnelsen O, #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #

Nå

Område av Parallelogrammet ABCD

# = Base (AD) * Høyde (BE) = AD * h #

# = AD * ABsintheta = | vec (AD) Xvec (AB) | #

En gang til

#vec (AD) = vec (OD) -vec (OA) = (X_D-X_A) hati + (Y_D-Y_A) hatj #

#vec (AB) = vec (OB) -vec (OA) = (X_B-X_A) hati + (Y_B-Y_A) hatj #

#vec (AD) #X#vec (AB) = (X_D-X_A) (Y_B-Y_A) - (X_B-X_A) (Y_D-Y_A) hatk #

Område = # | Vec (AD) #X#vec (AB) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + avbryt (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B-avbryt (Y_AX_A) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) | #

Dermed har vi samme formel