Hvorfor må vi bruke "kombinasjoner av n ting tatt x om gangen" når vi beregner binomiale sannsynligheter?

Svar:

Se nedenfor på mine tanker:

Forklaring:

Den generelle form for binomial sannsynlighet er:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (n-k)) #

Spørsmålet er Hvorfor trenger vi det første begrepet, kombinasjonsbegrepet?

La oss jobbe som et eksempel, og så kommer det klart.

La oss se på binomial sannsynligheten for å bla en mynt 3 ganger. La oss sette hodet til å være # P # og ikke å få hodene # ~ P # (både #=1/2)#.

Når vi går gjennom summeringsprosessen, vil de 4 uttrykkene i summeringen være 1 (i hovedsak finner vi alle mulige utfall, og sannsynligheten for at alle resultatene oppsummeres er 1):

#sum_ (k = 0) ^ (3) = farger (rød) (C_ (3,0) (1/2) ^ 0 ((1/2) ^ (3))) + farge (blå) (C_ (3,1) (1/2) ^ 1 ((1/2) ^ (2))) + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 ((1/2) ^ (1)) + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 ((1/2) ^ (0)) #

Så la oss snakke om det røde begrepet og det blå uttrykket.

Det røde uttrykket beskriver resultatene av å få 3 haler. Det er bare 1 måte for det som skal oppnås, og så har vi en kombinasjon som tilsvarer 1.

Legg merke til at den siste termen, den som beskriver å få alle hodene, også har en kombinasjon som tilsvarer 1 fordi igjen er det bare en måte å oppnå det på.

Den blå termen beskriver resultatene av å få 2 haler og 1 hode. Det er 3 måter som kan skje: TTH, THT, HTT. Og så har vi en kombinasjon som tilsvarer 3.

Merk at den tredje termen beskriver å få 1 hale og 2 hodene, og igjen er det 3 måter å oppnå det, og så er kombinasjonen 3.

Faktisk, i en hvilken som helst binomialfordeling må vi finne sannsynligheten for en enkelt type arrangement, for eksempel sannsynligheten for å oppnå 2 hoder og 1 haler, og deretter multiplisere det med antall måter det kan oppnås. Siden vi ikke bryr oss om rekkefølgen der resultatene oppnås, bruker vi en kombinasjonsformel (og ikke, si en permutasjonsformel).