Hvordan løse 3sin2x + 2cos2x = 3? Er det mulig å konvertere det til sinx = k?

Svar:

# x = 45 ^ sirk + 180 ^ sirk k # eller #x = arctan (3/2) - 45 ^ sirk + 180 ^ sirk k #

eller hvis du foretrekker en tilnærming, # x = 45 ^ sirk + 180 ^ sirk k # eller #x ca. 11.31 ^ sirk + 180 ^ sirk k #

selvfølgelig for heltall # K #.

Forklaring:

Pro tips: Det er bedre å slå disse inn i skjemaet #cos x = cos a # som har løsninger #x = pm a + 360 ^ sirk k quad # for heltall # K #.

Dette handler allerede om # 2x # så det er lettere å forlate det sånn.

Lineære kombinasjoner av sinus og cosinus av samme vinkel er faseskiftede cosinus.

# 3 synd (2x) + 2 cos (2x) = 3 #

# sqrt {13} (2 / sqrt {13} cos (2x) + 3 / sqrt {13) sin (2x)) = 3 #

# 2 / sqrt {13} cos (2x) + 3 / sqrt {13) sin (2x) = 3 / sqrt {13} #

La oss la # theta = arctan (3/2) ca 56.31 ^ sirkel #

Vi mener virkelig den som er i den første kvadranten.

(Hvis vi ønsket å gjøre sinus i stedet for cosinus som vi gjør, ville vi bruke #arctan (2/3) #.)

Vi har #cos theta = 2 / sqrt {13} # og #sin theta = 3 / sqrt {13}. #

# cos theta cos (2x) + sin theta sin (2x) = sin theta #

# cos (2x - theta) = cos (90 ^ sirk-theta) #

# 2x - theta = pm (90 ^ sirk-theta) + 360 ^ sirk k #

# 2x = theta pm (90 ^ sirk-theta) + 360 ^ sirk k #

# x = theta / 2 pm (45 ^ sirk-theta / 2) + 180 ^ sirk k #

# x = 45 ^ sirk + 180 ^ sirk k # eller #x = theta - 45 ^ sirk + 180 ^ sirk k #

# x = 45 ^ sirk + 180 ^ sirk k # eller #x = arctan (3/2) - 45 ^ sirk + 180 ^ sirk k #

Siden #56.31-45 = 11.31#

# x = 45 ^ sirk + 180 ^ sirk k # eller #x ca. 11.31 ^ sirk + 180 ^ sirk k #