Svar:
Starte med
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y - sec (xy) #
La oss erstatte sekanten med en cosinus.
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy) #
Nå tar vi derivatet WRT x på begge sider!
# d / dx -1 = d / dx (x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy)) #
Derivatet av en konstant er null og derivatet er lineært!
# 0 = d / dx (x y ^ 2) + d / dx (x ^ 2 y) - d / dx (ey) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Nå bruker du produktregelen på bare de to første begrepene vi får!
# 0 = {d / dx (x) y ^ 2 + xd / dx (y ^ 2)} + {d / dx (x ^ 2) y + x ^ 2 d / dx y} - d / dx y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Neste masse og mye moro med kjederegelen! Se siste sikt!
(gjør også de enkle x-derivatene)
# 0 = {1 * y ^ 2 + x * (d / dy y ^ 2) * dy / dx} + {2x * y + x ^ 2 * d / dy y * dy / dx} - {d / dy e ^ y} {dy / dx} #
# -d / {d cos (xy)} (cos (xy)) ^ (- 1) * d / {d xy} cos (xy) * d / dx {xy}
Å gjøre noen av disse y-derivatene, xy-derivater og cos (xy) derivater gjør også produktregelen og kjeden regel en gang til i siste del av siste periode.
# 0 = {y ^ 2 + x * 2 * y * dy / dx} + {2xy + x ^ 2 * 1 * dy / dx} - e ^ y {dy / dx} #
# - (-1) (cos (xy)) ^ (- 2) * - sin (xy) * (dx / dx y + x dy / dy dy / dx)
Neaten litt og ferdig alle derivatene
# 0 = y ^ 2 + 2xy dy / dx + 2xy + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx #
# - (sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) (y + x dy / dx) #
Nå skilles inn i begrepet med # Dx / dy # og uten
# 0 = y ^ 2 + 2xy - y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) + #
# 2xy dy / dx + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy) dy / dx #
Ta med alt uten # Dy / dx # til den ene siden og samlingen som vilkår på den andre
# y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy = #
# (2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) dy / dx #
Del men å finne # Dy / dx #
# dy / dx = {y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy} / {2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)} #
Det var veldig lenge!
Forklaring:
Gikk med en veldig lang forklaring med et enkelt eksempel fordi implisitt differensiering kan være vanskelig og kjederegelen er veldig veldig veldig viktig.
Du må bruke omtrent tre BIG Calculus regler for å løse dette og tre spesifikke funksjon derivater.
1) Linjæriteten av derivatet.
# d / dx (A + B + C + D) = d / dx (A) + d / dx (B) + d / dx (C) + d / dx
2) Produktregelen.
# d / dx (f (x) * g (x)) = (f (x)) * d / dx g (x) + (d / dx f (x)) * g (x)
3) Det viktigste begrepet i implisitt differensiering er langt
kjeden regel. For sammensatte funksjoner, funksjoner av andre funksjoner, #f (u (x)) # vi har, # d / dx (f (u (x))) = d / {du} f (u (x)) du / dx #.
Du kan fortsette å gå med dette
# d / dx (f (u (y (x)))) = d / {du} f (u) {du} / {dy} {dy} / {dx} #, og videre og videre. Merk # Dx / dx = 1 #.
Eksempel: Hvis du har en funksjon av en funksjon #f (u) # hvor # U # er en funksjon av # X #. dvs #f (x) = sqrt (1-x ^ 2) # (Her #f (u) = sqrt (u) # og #U (x) = 1-x ^ 2 #.
# d / dx sqrt (1-x ^ 2) = d / dx (1-x ^ 2) ^ {1/2} = (d / {du} (u ^ {1/2})) dx (1-x ^ 2)) #
# = 1/2 (u ^ {- 1/2}) * (-2x) # minnes # U = (1-x ^ 2) #
# = - x (1-x ^ 2) ^ {- 1/2} = -x / {sqrt (1-x ^ 2} #
Uttrykk for spesifikke funksjonsformer.
A) Hvordan ta derivatet av kraftfunksjoner, #f (x) = c x ^ n #.
# d / dx (c * x ^ n) = c * n * x ^ {n-1} #
B) Hvordan ta derivatet av # E ^ x #.
# d / dx (e ^ x) = e ^ x # <- kjedelig eh?
C) Hvordan ta derivatet av # cos (x) # fordi # sec (x) = 1 / { cos (x)} #.
# d / dx (cos x) = - sin x #
Nøkkelen til implisitt differensiering er å bruke kjederegelen til å ta derivatet wrt x av og funksjonen til både x og y, som en sirkel.
# 9 = x ^ 2 + y ^ 2 #
# d / dx 9 = d / dx (x ^ 2 + y ^ 2) = d / dx (x ^ 2) + d / dx (y ^ 2)
# 0 = 2x + d / dy y ^ 2 * dy / dx #
# 0 = 2x + 2y * dy / dx #
# -2x = 2y * dy / dx #
# dy / dx = -x / y #
