Hvordan forenkler jeg (sin ^ 4x-2sin ^ 2x + 1) cosx?

Hvordan forenkler jeg (sin ^ 4x-2sin ^ 2x + 1) cosx?
Anonim

Svar:

# cos ^ 5x #

Forklaring:

Denne typen problem er egentlig ikke så ille når du gjenkjenner at det innebærer en liten algebra!

Først vil jeg omskrive det gitte uttrykket for å gjøre følgende trinn lettere å forstå. Vi vet det # Sin ^ 2x # er bare en enklere måte å skrive # (sin x) ^ 2 #. På samme måte, # sin ^ 4x = (sin x) ^ 4 #.

Vi kan nå omskrive det opprinnelige uttrykket.

# (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x #

# = (sin x) ^ 4-2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

Nå er her den delen som involverer algebra. La #sin x = a #. Vi kan skrive # (sin x) ^ 4-2 (sin x) ^ 2 + 1 # som

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 #

Ser dette ut kjent? Vi trenger bare å faktorere dette! Dette er en perfekt kvadratisk trinomial. Siden # a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 = (a-b) ^ 2 #, vi kan si

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 = (a ^ 2 - 1) ^ 2 #

Bytt nå tilbake til den opprinnelige situasjonen. Re-erstatning #sin x # til #en#.

# (sin x) ^ 4-2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

# = (sin x) ^ 2 -1 ^ 2 cos x #

# = (farge (blå) (sin ^ 2x - 1)) ^ 2 cos x #

Vi kan nå bruke en trigonometrisk identitet for å forenkle betingelsene i blått. Omarrangere identiteten # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #, vi får #color (blå) (sin ^ 2 x -1 = -cos ^ 2x) #.

# = (farge (blå) (- cos ^ 2x)) ^ 2 cos x #

Når vi har firkantet dette, multipliserer de negative tegnene for å bli positive.

# = (cos ^ 4x) cos x #

# = Cos ^ 5x #

Og dermed, # (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x = cos ^ 5x #.