Hva er ligningen av parabolen med fokus på (5,3) og en regi av y = -12?

Svar:

# Y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

Forklaring:

Definisjonen av en parabola sier at alle punkter på parabolen alltid har samme avstand til fokuset og direktoren.

Vi kan la # P = (x, y) #, som vil representere et generelt punkt på parabolen, kan vi la # F = (5,3) # representerer fokus og # D = (x, -12) # representer det nærmeste punktet på directrixen, den # X # er fordi det nærmeste punktet på directrixen er alltid rett ned.

Vi kan nå sette opp en ligning med disse punktene. Vi vil bruke avstandsformelen til å trene avstandene:

# D = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Vi kan bruke dette til våre poeng for å først få avstanden mellom # P # og # F #:

#d_ (PF) = sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) #

Da skal vi trene avstanden mellom # P # og # D #:

#d_ (PD) = sqrt ((x-x) ^ 2 + (y - (- 12)) ^ 2) #

Siden disse avstandene må være lik hverandre, kan vi sette dem i en ligning:

#sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) = sqrt ((y + 12) ^ 2) #

Siden punktet # P # er i generell form og kan representere noen punkt på parabolen, hvis vi bare kan løse for # Y # i ligningen vil vi bli igjen med en ligning som vil gi oss alle poeng på parabolen, eller med andre ord, det vil være ligningen til parabolen.

Først skal vi firkantet begge sider:

# (Sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2)) ^ 2 = (sqrt ((y + 12) ^ 2)) ^ 2 #

# (X-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = (y + 12) ^ 2 #

Vi kan da utvide:

# X ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-6y + 9 = y ^ 2 + 24y + 144 #

Hvis vi legger alt til venstre og samler som vilkår, får vi:

# X ^ 2-10x-110-30y = 0 #

# 30y = x ^ 2-10x-110 #

# Y = x ^ 2 / 30- (10x) / 30-110 / 30 #

# Y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

som er ligningen til vår parabol.