Funksjonen f (x) = sin (3x) + cos (3x) er resultatet av en rekke transformasjoner med den første som er en horisontal oversettelse av funksjonssynet (x). Hvilken av dette beskriver den første transformasjonen?

Svar:

Vi kan få grafen til # Y = f (x) # fra # Ysinx # ved å bruke følgende transformasjoner:

• en horisontal oversettelse av # Pi / 12 # radianer til venstre

• en strekning sammen #Okse# med en skala faktor på #1/3# enheter

• en strekning sammen # Oy # med en skala faktor på #sqrt (2) # enheter

Forklaring:

Vurder funksjonen:

# f (x) = synd (3x) + cos (3x) #

La oss anta at vi kan skrive denne lineære kombinasjonen av sinus og cosinus som en enkeltfaseskiftet sinusfunksjon, det antas at vi har:

# f (x) - = Asin (3x + alfa) #

# = A {sin3xcosalpha + cos3xsinalpha} #

# = Acosalpha sin3x + Asinalphacos3x #

I så fall ved å sammenligne koeffisienter for # Sin3x # og # Cos3x # vi har:

# Acos alpha = 1 # og # Asinalpha = 1 #

Ved å kvadre og legge til har vi:

# A ^ 2cos ^ 2alpha + A ^ 2sin ^ 2alpha = 2 => A ^ 2 = 2 => A = sqrt (2) #

Ved å dele har vi:

# tan alpha => alpha = pi / 4 #

Dermed kan vi skrive, #f (x) # i skjemaet:

# f (x) - = synd (3x) + cos (3x) #

# = sqrt (2) sin (3x + pi / 4) #

# = sqrt (2) sin (3 (x + pi / 12)) #

Så vi kan få grafen til # Y = f (x) # fra # Ysinx # ved å bruke følgende transformasjoner:

• en horisontal oversettelse av # Pi / 12 # radianer til venstre
• en strekning sammen #Okse# med en skala faktor på #1/3# enheter
• en strekning sammen # Oy # med en skala faktor på #sqrt (2) # enheter

Som vi kan se grafisk:

Grafen av # Y = sinx #:

graf {sinx -10, 10, -2, 2}

Grafen av # Y = sin (x + pi / 12) #:

graf {sin (x + pi / 12) -10, 10, -2, 2}

Grafen av # y = sin (3 (x + pi / 12)) = synd (3x + pi / 4) #:

graf {sin (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

Grafen av # y = sqrt (2) sin (3 (x + pi / 12)) = sqrt (2) sin (3x + pi / 4):

graf {sqrt (2) sin (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

Og til slutt, grafen til den opprinnelige funksjonen til sammenligning:

graf {sin (3x) + cos (3x) -10, 10, -2, 2}