På hvilke intervaller er følgende ligning konkav opp, konkav ned og hvor det er infleksjonspunkt er (x, y) f (x) = x ^ 8 (ln (x))?

Svar:

• hvis # 0 <x <e ^ (- 15/56) # deretter # F # er konkav ned;
• hvis #x> e ^ (- 15/56) # deretter # F # er konkav opp;
• # X = e ^ (- 15/56) # er en (fallende) bøyningspunkt

Forklaring:

For å analysere konkavitet og infleksjonspunkter av en to ganger differensierbar funksjon # F #, kan vi studere positiviteten til det andre derivatet. Faktisk, hvis # X_0 # er et punkt i domenet til # F #, deretter:

• hvis #f '' (x_0)> 0 #, deretter # F # er konkav opp i et nabolag av # X_0 #;
• hvis #f '' (x_0) <0 #, deretter # F # er konkav ned i et nabolag av # X_0 #;
• hvis #f '' (x_0) = 0 # og tegnet av #f '' # på et tilstrekkelig lite høyre nabolag av # X_0 # er motsatt til tegn på #f '' # på et tilstrekkelig lite venstre nabolag av # X_0 #, deretter # X = x_0 # kalles en bøyningspunkt av # F #.

I det spesielle tilfellet av #f (x) = x ^ 8 ln (x) #, vi har en funksjon hvis domene må begrenses til de positive reals #RR ^ + #.

Det første derivatet er

#f '(x) = 8x ^ 7 ln (x) + x ^ 8 1 / x = x ^ 7 8 ln (x) +1 #

Det andre derivatet er

#f '' (x) = 7x ^ 6 8 ln (x) +1 + x ^ 7 8 / x = x ^ 6 56ln (x) +15 #

La oss studere positiviteten til #f '' (x) #:

• # x ^ 6> 0 iff x ne 0 #
• # 56ln (x) +15> 0 iff ln (x)> -15/56 iff x> e ^ (- 15/56) #

Så, vurderer at domenet er #RR ^ + #, får vi det

• hvis # 0 <x <e ^ (- 15/56) # deretter #f '' (x) <0 # og # F # er konkav ned;
• hvis #x> e ^ (- 15/56) # deretter #f '' (x)> 0 # og # F # er konkav opp;
• hvis # X = e ^ (- 15/56) # deretter #f '' (x) = 0 #. Tatt i betraktning det til venstre for dette punktet #f '' # er negativ og til høyre er det positivt, konkluderer vi det # X = e ^ (- 15/56) # er en (fallende) bøyningspunkt