Hvordan integrerer du int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) dx ved hjelp av trigonometrisk substitusjon?

Svar:

(101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) + 1)) + 1 + sqrt101)) + C #

Forklaring:

Løsningen er litt lang!

Fra det gitte #int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) * dx #

#int 1 / ((sqrt (-1) * sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

Legg merke til det # I = sqrt (-1) # det imaginære tallet

Sett til side det komplekse tallet en stund og fortsett til integralet

#int 1 / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

ved å fullføre torget og gjøre noen gruppering:

#int 1 / (sqrt ((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100-100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100) -100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2-100 + 101))) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2 + 1))) * dx #

Første trigonometrisk substitusjon: ##

Den akutte vinkelen # W # med motsatt side # = E ^ x + 10 # og tilstøtende side #=1# med hypotenuse =#sqrt ((e ^ x + 10) ^ 2 + 1) #

La # e ^ x + 10 = tan w #

# e ^ x dx = sec ^ 2 w # # dw #

# dx = (sec ^ 2w * dw) / e ^ x #

og så

# dx = (sec ^ 2w * dw) / tan (w-10) #

Integralet blir

#int 1 / sqrt (tan ^ 2w + 1) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sqrt (sec ^ 2w) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sec w * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int (sekw * dw) / (tan w-10) #

fra trigonometri #sec w = 1 / cos w # og #tan w = sin med cos w #

Integralet blir

#int (1 / cos w * dw) / (sin w / cos w-10) # og

#int (dw) / (sin w-10 cos w) #

Andre trigonometrisk substitusjon:

La # w = 2 tan ^ -1 z #

# Dw = 2 * dz / (1 + z ^ 2) #

og også # z = tan (w / 2) #

Den rette trekanten: Den spisse vinkelen # M / 2 # med motsatt side # = z #

Tilgrensende side #=1# og hypotenuse # = sqrt (z ^ 2 + 1) #

Fra Trigonometri: Tilbakekalling av halvvinkelformler

#sin (w / 2) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

# z / sqrt (z ^ 2 + 1) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

løse for #cos w #

#cos w = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) #

Bruk også identiteten #sin ^ 2w = 1-cos ^ 2w #

det følger at

#sin w = (2z) / (1 + z ^ 2) #

integralet blir

(1 + z ^ 2)) / (2z) / (1 + z ^ 2) -10 * (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2)) #

Forenkle integrerte resultater til

#int (2 * dz) / (2z-10 + 10z ^ 2) #

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5-1) #

Ved å fullføre torget:

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5 + 1 / 100-1 / 100-1) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2-101 / 100) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2- (sqrt101 / 10) ^ 2) #

Bruk nå formelen (u-a) / (u + a)) + C #

La # U = z 1/10 # og # A = sqrt101 / 10 # og inkludere tilbake # I = sqrt (-1) #

Skriv det endelige svaret ved hjelp av originale variabler

(101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) + 1)) + 1 + sqrt101)) + C #