Hva er int_ (1) ^ (4) x ^ 4-x ^ 3 + sqrt (x-1) / x ^ 2 dx?

Svar:

# 1023/5 - (225 - sqrt3) / 4 + arctan (sqrt3) #

Forklaring:

Denne forklaringen er litt lang, men jeg kunne ikke finne en raskere måte å gjøre det på …

Integralet er en lineær applikasjon, slik at du allerede kan dele funksjonen under integrert tegnet.

# int_1 ^ 4 (x ^ 4 - x ^ 3 + (sqrt (x-1) / x ^ 2)) dx # = # int_1 ^ 4 x ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx #

De 2 første begrepene er polynomiske funksjoner, slik at de er enkle å integrere. Jeg viser deg hvordan du gjør det med # X ^ 4 #.

# intx ^ 4dx = x ^ 5/5 # så # int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5/5 - 1/5 = 1023/5 #. Du gjør nøyaktig samme ting for # X ^ 3 #, resultatet er #255/4#.

Finne #intsqrt (x-1) / x ^ 2DX # er litt lang og komplisert. Først multipliserer du brøkdel av #sqrt (x-1) / sqrt (x-1) # og så endrer du variabelen: la oss si #u = sqrt (x-1) #. Så # Du = 1 / (2sqrt (x-1)) dx # og du må nå finne # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du #. For å finne det, trenger du den delvise fraksjonens dekomponering av den rasjonelle funksjonen # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

# x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (ax + b) / (x ^ 2 +1) + (cx + d) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # med # a, b, c, d i RR #. Etter kalkulator finner vi ut det # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1 / (x ^ 2 +1) - 1 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #, som betyr at # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (int (du) / (u ^ 2 + 1) - int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2)

# int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2 # er velkjent, det er det #arctan (u) / 2 + u / (2 (1 + u ^ 2)) #.

Endelig, (U) / 2 - u / (2 (1 + u ^ 2))) = arctan (u) - u / (1 + u ^ 2) #

Du erstatter # U # ved sitt opprinnelige uttrykk med # X # å ha #intsqrt (x-1) / x ^ 2DX #, som er #arctan (sqrt (x-1)) - sqrt (x-1) / x #

Så endelig, # int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx = arctan (sqrt3) - sqrt3 / 4 #