Z1 + z2 = z1 + z2 hvis og bare hvis arg (z1) = arg (z2), hvor z1 og z2 er komplekse tall. hvordan? Vennligst forklar!

Svar:

Vennligst referer til Diskusjon i Forklaring.

Forklaring:

La, # | Z_j | = r_j; r_j gt 0 og arg (z_j) = theta_j i (-pi, pi); (j = 1,2). #

#:. z_j = r_j (costheta_j + isintheta_j), j = 1,2. #

Helt klart, # (Z_1 + z_2) = r_1 (costheta_1 + isintheta_1) + k2 (L costheta_2 + isintheta_2), #

# = (R_1costheta_1 + r_2costheta_2) + i (r_1sintheta_1 + r_2sintheta_2). #

Husk det, # z = x + iy rArr | z | ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2. #

#:. | (z_1 + z_2) ^ 2 = (r_1costheta_1 + r_2costheta_2) ^ 2 + (r_1sintheta_1 + r_2sintheta_2) ^ 2, #

# = R_1 ^ 2 (cos ^ 2theta_1 + sin ^ 2theta_1) + r_2 ^ 2 (cos ^ 2theta_2 + sin ^ 2theta_2) + 2r_1r_2 (costheta_1costheta_2 + sintheta_1sintheta_2), #

# = R_1 ^ 2 + ^ 2 + r_2 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2), #

#rArr | z_1 + z_2 | ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) …. (stjerne ^ 1) #.

# "Nå Gitt det," | z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 |, #

#iff | (z_1 + z_2) | ^ 2 = (| z_1 | + | z_2 |) ^ 2 = | z_1 | ^ 2 + | z_2 | ^ 2 + 2 | z_1 || z_2 |, dvs..

# | (z_1 + z_2) | ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2 ……. (stjerne ^ 2). #

Fra # (stjerne ^ 1) og (stjerne ^ 2) # vi får, # 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) = r_1r_2. #

# "Kansellering" r_1r_2 gt 0, cos (theta_1-theta_2) = 1 = cos0. #

#:. (theta_1-theta_2) = 2kpi + -0, k i ZZ. #

# "Men", theta_1, theta_2 i (pi, pi), theta_1-theta_2 = 0, eller #

# theta_1 = theta_2, "giving," arg (z_1) = arg (z_2), # som ønsket!

Dermed har vi vist at, # | Z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 | rArr arg (z_1) = arg (z_2). #

De converse kan bevises på lignende linjer.

Nyt matematikk.!