Hva er lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2?

Hva er lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2?
Anonim

Svar:

#lim_ (x-> oo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo #

Forklaring:

La # y = (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 #

# LNY = ln ((e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2) #

# LNY = LNE ^ (2x) + ln (sin (1 / x)) - lnx ^ 2 #

# LNY = 2xlne + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

# LNY = 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = lim_ (x-> oo) 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) LNY = oo #

# E ^ LNY = e ^ oo #

# Y = oo #

Svar:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo #. Vennligst se forklaringsdelen nedenfor.

Forklaring:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 #

Noter det: # (e ^ (2x) synd (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * synd (1 / x) / (1 / x)

Nå som # Xrarroo #, det første forholdet øker uten bundet, mens det andre går til #1#.

# lx (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 * lim_ (xrarroo) sin (1 / x) / / x) #

# = oo #

Ytterligere forklaring

Her er resonnementet som førte til løsningen ovenfor.

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 # har innledende skjema # (Oo * 0) / oo #.

Dette er en ubestemt form, men vi kan ikke bruke l'Hospital's Rule til dette skjemaet.

Vi kunne skrive om det som # (E ^ (2x)) / (x ^ 2 / sin (1 / x)) # å få skjemaet # Oo / oo # som vi kunne bruke l'Hospital. Imidlertid ønsker jeg ikke spesielt å ta derivatet av den nevnte.

Husk det #lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1 #.

Så det #lim_ (xrarroo) synd (1 / x) / (1 / x) = 1 #.

Dette motiverer rewriting som brukes ovenfor.

# (e ^ (2x) synd (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * synd (1 / x) / (1 / x).

Som # X # øker uten bundet, # E ^ x # går til uendelig mye raskere det # X ^ 3 # (raskere enn noen kraft av # X #).

Så, # e ^ (2x) = (e ^ x) ^ 2 # blåser opp enda raskere.

Hvis du ikke har dette faktum tilgjengelig, bruk l'Hospital-regelen for å få

#lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 = lim_ (xrarroo) (2e ^ (2x)) / (3x ^ 2) #

# = lim_ (xrarroo) (8e ^ (2x)) / (6) = oo #