Hva er lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2?

Svar:

#lim_ (x-> oo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo #

Forklaring:

La # y = (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 #

# LNY = ln ((e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2) #

# LNY = LNE ^ (2x) + ln (sin (1 / x)) - lnx ^ 2 #

# LNY = 2xlne + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

# LNY = 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = lim_ (x-> oo) 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) LNY = oo #

# E ^ LNY = e ^ oo #

# Y = oo #

Svar:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo #. Vennligst se forklaringsdelen nedenfor.

Forklaring:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 #

Noter det: # (e ^ (2x) synd (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * synd (1 / x) / (1 / x)

Nå som # Xrarroo #, det første forholdet øker uten bundet, mens det andre går til #1#.

# lx (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 * lim_ (xrarroo) sin (1 / x) / / x) #

# = oo #

Ytterligere forklaring

Her er resonnementet som førte til løsningen ovenfor.

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 # har innledende skjema # (Oo * 0) / oo #.

Dette er en ubestemt form, men vi kan ikke bruke l'Hospital's Rule til dette skjemaet.

Vi kunne skrive om det som # (E ^ (2x)) / (x ^ 2 / sin (1 / x)) # å få skjemaet # Oo / oo # som vi kunne bruke l'Hospital. Imidlertid ønsker jeg ikke spesielt å ta derivatet av den nevnte.

Husk det #lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1 #.

Så det #lim_ (xrarroo) synd (1 / x) / (1 / x) = 1 #.

Dette motiverer rewriting som brukes ovenfor.

# (e ^ (2x) synd (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * synd (1 / x) / (1 / x).

Som # X # øker uten bundet, # E ^ x # går til uendelig mye raskere det # X ^ 3 # (raskere enn noen kraft av # X #).

Så, # e ^ (2x) = (e ^ x) ^ 2 # blåser opp enda raskere.

Hvis du ikke har dette faktum tilgjengelig, bruk l'Hospital-regelen for å få

#lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 = lim_ (xrarroo) (2e ^ (2x)) / (3x ^ 2) #

# = lim_ (xrarroo) (8e ^ (2x)) / (6) = oo #

Hvorfor lim_ (x-> oo) (sqrt (4x ^ 2 + x-1) -sqrt (x ^ 2-7x + 3)) = lim_ (x-> oo) (3x ^ 2 + 8x-4) / 2x + ... + x + ...) = oo?

"Se forklaring" "Multiplicer med" 1 = (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) "Da får du" lim_ {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt x ^ 2 - 7 x + 3)) "(fordi" (ab) (a + b) = a ^ 2b2 ")" = lim_ {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / sqrt (x ^ 2 (1 + 1 / (4x) - 1 / (4x ^ 2))) + sqrt (x ^ 2 (1 - 7 / x + 3 / x ^ 2)) = lim {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (2x sqrt (1 + 0 - 0) + x sqrt (1 - 0 + 0)) " 1 x = 0 ")" = lim {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (3 x) = lim {x-> oo}

Hva er lik? lim_ (x-> pi / 2) sin (cosx) / (cos ^ 2 (x / 2) -sin ^ 2 (x / 2)) =?

1 "Merk at:" farge (rød) (cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = cos (2x)) "Så her har vi" lim_ {x-> pi / 2} sin )) / cos (x) "Nå gjelder regel de l 'Hôptial:" = lim_ {x-> pi / 2} cos (cos (x)) * (- sin (x)) / = lim_ {x-> pi / 2} cos (cos (x)) = cos (cos (pi / 2)) = cos (0) = 1

Hva er verdien av? lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / sin x ^ 2

Lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 Vi søker: L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / ^ 2) Både telleren og2nevneren rarr 0 som x rarr 0. Derfor er grensen L (hvis den eksisterer) av ubestemt form 0/0, og derfor kan vi anvende L'Hôpital's regel for å få: L = lim_ (xrarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) Nå bruker du grunnleggende teorem av kalkulatoren: d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) Og d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) Og så: L = lim_